地特三等申論題
107年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
考慮簡單線性迴歸反應變數模型 y_i = β_0 + β_1 x_i + ε_i，若誤差 ε_i 是常態分配，平均數是 0，標準差 σ 未知。解釋變數 x 與反應變數 y 的 5 個觀測值 (x_1, y_1), … , (x_5, y_5)，經計算得到 Σx_i = 15，Σy_i = 20，Σx_i y_i = 69，Σx_i^2 = 55，Σy_i^2 = 90。 (一)求 x 與 y 的樣本相關係數。（8 分） (二)以最小平方法求 β_1 的估計值。（7 分） (三)若 β_1 估計式（estimator）的標準誤是 0.253，求 β_1 的 95% 信賴區間。（10 分）
考慮簡單線性迴歸反應變數模型 y_i = β_0 + β_1 x_i + ε_i，若誤差 ε_i 是常態分配，平均數是 0，標準差 σ 未知。解釋變數 x 與反應變數 y 的 5 個觀測值 (x_1, y_1), … , (x_5, y_5)，經計算得到 Σx_i = 15，Σy_i = 20，Σx_i y_i = 69，Σx_i^2 = 55，Σy_i^2 = 90。 (一)求 x 與 y 的樣本相關係數。（8 分） (二)以最小平方法求 β_1 的估計值。（7 分） (三)若 β_1 估計式（estimator）的標準誤是 0.253，求 β_1 的 95% 信賴區間。（10 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
求 x 與 y 的樣本相關係數。（8 分）
思路引導 VIP
看到樣本相關係數，立刻聯想到公式 r = S_xy / √(S_xx × S_yy)。利用題目給定的各項總和，先計算出離差平方和 S_xx、S_yy 及離差交乘積和 S_xy，再代入公式求解即可。
小題 (二)
以最小平方法求 β_1 的估計值。（7 分）
思路引導 VIP
看到「以最小平方法求斜率估計值」，應立刻聯想到公式 (\hat{\beta}1 = S{xy} / S_{xx})。接著將題目給定的原始總和數據（如 (\sum x, \sum y, \sum xy, \sum x^2)）代入展開後的公式進行計算即可穩穩得分。
小題 (三)
若 β_1 估計式（estimator）的標準誤是 0.253，求 β_1 的 95% 信賴區間。（10 分）
思路引導 VIP
看到求信賴區間，首先回憶公式：估計值 ± 臨界值 × 標準誤。斜率估計值需由題幹數據先計算出來，標準誤題目已直接給定，最後需特別注意簡單線性迴歸中 t 分配的自由度為 n-2。