地特三等申論題
106年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
某便利商店為了瞭解廣告的促銷效果，在臺北市隨機抽取 15 家分店比較廣告前的銷售量 $x_i$ 與廣告後的銷售量 $y_i$，i = 1, 2, ..., 15。資料整理如下所示： 廣告前銷售量：樣本平均數 $\bar{x} = 800$, 樣本變異數 $S_x^2 = 1400$ 廣告後銷售量：樣本平均數 $\bar{y} = 1200$, 樣本變異數 $S_y^2 = 2000$ 另知廣告前後銷售量的樣本相關係數為 $r = 0.85$。擬以簡單線性迴歸模型 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i$, $\varepsilon_i \sim$ i.i.d. $N(0, \sigma^2)$, i = 1, 2, ..., 15 分解資料，請回答下列問題： (一)求斜率（$\beta_1$）的最小平方估計值。（10 分） (二)檢定廣告前後的平均銷售量是否相等？（假設廣告前後的銷售量的母體均滿足變異數均等的常態分配，顯著水準 $\alpha = 0.10$。）（5 分） (三)已知廣告前的銷售量是 900，求其廣告後的平均銷售量是多少？（10 分） （參考的 t 值：$t_{30,0.05}=1.697$, $t_{29,0.05}=1.699$, $t_{15,0.05}=1.753$, $t_{14,0.05}=1.761$）
某便利商店為了瞭解廣告的促銷效果，在臺北市隨機抽取 15 家分店比較廣告前的銷售量 $x_i$ 與廣告後的銷售量 $y_i$，i = 1, 2, ..., 15。資料整理如下所示： 廣告前銷售量：樣本平均數 $\bar{x} = 800$, 樣本變異數 $S_x^2 = 1400$ 廣告後銷售量：樣本平均數 $\bar{y} = 1200$, 樣本變異數 $S_y^2 = 2000$ 另知廣告前後銷售量的樣本相關係數為 $r = 0.85$。擬以簡單線性迴歸模型 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i$, $\varepsilon_i \sim$ i.i.d. $N(0, \sigma^2)$, i = 1, 2, ..., 15 分解資料，請回答下列問題： (一)求斜率（$\beta_1$）的最小平方估計值。（10 分） (二)檢定廣告前後的平均銷售量是否相等？（假設廣告前後的銷售量的母體均滿足變異數均等的常態分配，顯著水準 $\alpha = 0.10$。）（5 分） (三)已知廣告前的銷售量是 900，求其廣告後的平均銷售量是多少？（10 分） （參考的 t 值：$t_{30,0.05}=1.697$, $t_{29,0.05}=1.699$, $t_{15,0.05}=1.753$, $t_{14,0.05}=1.761$）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
求斜率（$\beta_1$）的最小平方估計值。（10 分）
思路引導 VIP
解題核心在於連結「簡單線性迴歸的斜率估計式」與「樣本相關係數」的關係。利用公式 $\hat{\beta}_1 = r \frac{S_y}{S_x}$，將題目給定的相關係數與樣本變異數代入即可迅速求解。
小題 (二)
檢定廣告前後的平均銷售量是否相等？（假設廣告前後的銷售量的母體均滿足變異數均等的常態分配，顯著水準 α = 0.10。）（5 分）
思路引導 VIP
本題資料來自同一群分店廣告前後的銷售量，屬於相依樣本，故應採用「成對樣本 t 檢定」（Paired t-test）。須特別注意利用給定的相關係數推導出成對差值的變異數，再計算出 t 統計量並與對應自由度 (n-1=14) 的臨界值比較即可作答。
小題 (三)
已知廣告前的銷售量是 900，求其廣告後的平均銷售量是多少？（10 分）
思路引導 VIP
看到「已知X求Y的預測平均值」，第一步想到利用最小平方估計法建立的簡單線性迴歸方程式來進行點估計。建議直接利用點斜式 $\hat{y} = \bar{y} + \hat{\beta}_1 (x - \bar{x})$ 快速代入計算，可避免先求截距 $\hat{\beta}_0$ 所產生的進位誤差。