高考申論題
113年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
王先生蒐集過去 12 個月甲市新成屋的交易價格，得每坪平均交易價格 y1,y2,...,y12（單位：萬元）。已知此樣本之平均數與標準差分別為 y̅=63, sy=12。又將每坪平均交易價格對時間做線性迴歸，得到截距項係數估計值為 50。請回答下列問題：（每小題 10 分，共 40 分） (一)試求斜率係數估計值。 (二)試分別預測接下來兩個月的每坪平均交易價格。 (三)在 0.05 顯著水準之下，試檢定斜率係數是否為正值。 (四)接下來兩個月，若每坪平均交易價格的真實值分別為 77 萬元與 72 萬元，試計算(二)中預測結果的平均絕對誤差（mean absolute deviation）。
王先生蒐集過去 12 個月甲市新成屋的交易價格，得每坪平均交易價格 y1,y2,...,y12（單位：萬元）。已知此樣本之平均數與標準差分別為 y̅=63, sy=12。又將每坪平均交易價格對時間做線性迴歸，得到截距項係數估計值為 50。請回答下列問題：（每小題 10 分，共 40 分） (一)試求斜率係數估計值。 (二)試分別預測接下來兩個月的每坪平均交易價格。 (三)在 0.05 顯著水準之下，試檢定斜率係數是否為正值。 (四)接下來兩個月，若每坪平均交易價格的真實值分別為 77 萬元與 72 萬元，試計算(二)中預測結果的平均絕對誤差（mean absolute deviation）。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
試求斜率係數估計值。
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面對這類給定迴歸截距與應變數平均數求斜率的題目，應直覺想到最小平方法（OLS）的重要性質：『樣本迴歸線必通過自變數與應變數的樣本平均數點 $(\bar{x}, \bar{y})$』。先計算出自變數（時間）的平均數，再代入迴歸方程式即可輕鬆求解。
小題 (二)
試分別預測接下來兩個月的每坪平均交易價格。
思路引導 VIP
本題測驗簡單線性迴歸模型的點預測（Point Prediction）。解題關鍵在於先利用「OLS 迴歸直線必通過樣本點平均數」的性質推導出完整的迴歸方程式，接著將代表未來時間點的自變數數值代入方程式即可求得預測值。
小題 (三)
在 0.05 顯著水準之下，試檢定斜率係數是否為正值。
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本題測驗簡單線性迴歸的斜率假設檢定。必須先利用總平方和（SST）與迴歸平方和（SSR）推導出殘差平方和（SSE），進而求出誤差變異數及斜率估計量的標準誤，最後計算 t 檢定統計量並與臨界值比對。
小題 (四)
接下來兩個月，若每坪平均交易價格的真實值分別為 77 萬元與 72 萬元，試計算(二)中預測結果的平均絕對誤差（mean absolute deviation）。
思路引導 VIP
本題測驗考生對預測績效評估指標「平均絕對誤差（MAD）」的計算能力。解題關鍵在於先引述子題(二)求得的第 13 與第 14 期預測值，接著帶入 MAD 數學定義公式進行計算即可。