第 一 題

本題分為兩步：1. 計算 Pearson 相關係數 $r$；2. 利用 t 檢定測試其顯著性 ($H_0: \rho = 0$)。首先建表計算出 $\sum X, \sum Y, \sum X^2, \sum Y^2, \sum XY$，接著帶入公式 $r = S_{XY} / \sqrt{S_{XX} S_{YY}}$ 算出係數。最後代入檢定量 $t = r \sqrt{(n-2)/(1-r^2)}$，與 $t_{\alpha/2}(n-2)$ 臨界值比較作結論。

本題要求計算無母數統計的 Spearman 相關係數。必須先將 X 與 Y 的資料分別轉換為等級 (Rank)。注意有同分的數據 (Ties)，須將它們的等級加總平均分配。算出等級後，計算兩組等級差的平方和 $\sum d_i^2$，再代入公式計算 $r_s$。顯著性檢定同 Pearson，使用轉換後的 t 分配公式進行檢定。

這是一題概念比較題。應該從幾個維度進行切入：1. 衡量的關係本質 (線性 vs. 單調)；2. 適用的資料型態 (連續尺度 vs. 順序尺度)；3. 母體分配假設 (需常態 vs. 無母數)；4. 對極端值 (outliers) 的抵抗力。