高考申論題
113年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
若已知簡單線性迴歸模型為 $y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i, i = 1, 2, \dots, n$，假設 $\varepsilon_i$ 為相互獨立且具有共同分配 $N(0, \sigma^2)$。令 $y_i$ 的最小平方估計值為 $\hat{y}_i = a + bx_i$，回答以下問題：
若已知簡單線性迴歸模型為 $y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i, i = 1, 2, \dots, n$，假設 $\varepsilon_i$ 為相互獨立且具有共同分配 $N(0, \sigma^2)$。令 $y_i$ 的最小平方估計值為 $\hat{y}_i = a + bx_i$，回答以下問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
令 $u_i = y_i - \bar{y}, v_i = x_i - \bar{x}$，及此變數變換後之 $u_i$ 的最小平方估計值為 $\hat{u}_i = c + dv_i$，其中 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分別表示 $n$ 個 $x_i$ 和 $n$ 個 $y_i$ 的樣本平均數。請推導出 $c$ 和 $d$。（5 分）
思路引導 VIP
本題探討「中心化（Centering）」對迴歸係數的影響。考生應從 OLS 的定義出發，計算截距與斜率的估計式。中心化後，數據的平均值會變為 0，這會直接影響截距項。
小題 (二)
令 $z_i = \frac{y_i - \bar{y}}{s_y}, w_i = \frac{x_i - \bar{x}}{s_x}$，及此變數變換後之 $z_i$ 的最小平方估計值為 $\hat{z}_i = g + hw_i$，其中 $s_x$ 和 $s_y$ 分別表示 $n$ 個 $x_i$ 和 $n$ 個 $y_i$ 的樣本標準差。請推導出 $g$ 和 $h$。（5 分）
思路引導 VIP
本題探討「標準化（Standardization）」對迴歸係數的影響。標準化後，平均值為 0 且標準差為 1。標準化迴歸係數 $h$ 其實就是相關係數 $r$。
小題 (三)
已知的資料結構可以分成二部分，其中第一個部分的 $n_1$ 個資料點的數值皆為 1，即 $x_i = 1, i = 1, 2, \dots, n_1$；第二個部分的 $n_2$ 個資料點的數值皆為 0，即 $x_i = 0, i = n_1 + 1, n_1 + 2, \dots, n, n = n_1 + n_2$。請推導出 $a$ 和 $b$。（10 分）
思路引導 VIP
當自變數 $x$ 是二元變數（Dummy Variable）時，線性迴歸實質上是在比較兩組的平均數。考生需計算這組特定數據下的 $\bar{x}, \bar{y}$ 及相關離差平方和。