地特四等申論題
106年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
由具有分配為 f(x) = (1/9)x^2, 0 < x < 3 之母體抽出一組樣本數為 3 之隨機樣本 X1, X2, X3。令 max{X1, X2, X3} 及 min{X1, X2, X3} 分別代表此組隨機樣本中最大和最小值，令變數 R = max{X1, X2, X3} - min{X1, X2, X3} 代表全距。（每小題 10 分，共 30 分）
由具有分配為 f(x) = (1/9)x^2, 0 < x < 3 之母體抽出一組樣本數為 3 之隨機樣本 X1, X2, X3。令 max{X1, X2, X3} 及 min{X1, X2, X3} 分別代表此組隨機樣本中最大和最小值，令變數 R = max{X1, X2, X3} - min{X1, X2, X3} 代表全距。（每小題 10 分，共 30 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請求出機率 Pr[min{X1, X2, X3} < 2]。
思路引導 VIP
面對求樣本最小值或最大值的機率問題，最直觀且不易出錯的方法是轉換為補集運算或利用順序統計量的累積分配函數（CDF）。本題求「最小值小於 2」，可以轉換為「1 減去所有樣本皆大於等於 2 的機率」，能大幅簡化計算過程。
小題 (二)
請求出機率 Pr[min{X1, X2, X3} > 1, max{X1, X2, X3} < 2]。
思路引導 VIP
看到極值的聯合機率，首先思考其物理意義：最小值大於1且最大值小於2，意味著「所有」樣本觀測值都必須落在1到2之間。利用樣本獨立同分配（i.i.d.）的特性，將問題簡化為單一觀察值落在該區間的機率之三次方即可快速求解。
小題 (三)
請求出變數 R 之期望值，即 E(R)。
思路引導 VIP
這題考查順序統計量（Order Statistics）的期望值。利用全距 R = 最大值 - 最小值，其期望值可拆解為期望值的線性組合：E(R) = E(X_{(3)}) - E(X_{(1)})。解題步驟為：先求出母體的累積分配函數 (CDF)，接著分別代入最大值與最小值的機率密度函數公式，最後透過積分求得各自的期望值並相減即可。