第 四 題
ChatGPT 的問世帶動了 AI 商機的蓬勃發展，也促成了市場對 GPU 需求量的急遽增加。已知國內某生產 GPU 的工廠，所生產的 GPU 之壽命服從變異數為 $\theta$ 之指數分配。今由此公司之生產線隨機抽檢 $n$ 筆 GPU 樣本並測驗其壽命，令 $Y_1, Y_2, dots, Y_n$ 表此 $n$ 筆相互獨立樣本之觀測值。令 $Min\{Y_1, Y_2, dots, Y_n\}$ 代表取 $Y_1, Y_2, dots, Y_n$ 之最小值，$Max\{Y_1, Y_2, dots, Y_n\}$ 代表取 $Y_1, Y_2, dots, Y_n$ 之最大值。
小題 (四)
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看到 $F(Y_i)$ 應立刻聯想到「機率積分轉換」（Probability Integral Transform）。對於任何連續分配，其 CDF 轉換後的變數 $U_i = F(Y_i)$ 必定服從標準均勻分配 $U(0, 1)$。本題要求的是 $n$ 個獨立 $U(0, 1)$ 變數中，最小值大於 1/4 且最大值小於 1/2 的機率，這等價於「所有 $U_i$ 都落在 $[1/4, 1/2]$ 區間內」。
小題 (一)
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首先確立指數分配的母體結構。若指數分配的變異數為 $\theta$，則其平均數（參數 $1/\lambda$）應為 $\sqrt{\theta}$。求出中位數與平均數的關係：$M = \sqrt{\theta} \ln 2$。接著利用充分統計量（Sufficient Statistic）的概念：對於指數分配，$\sum Y_i$（或 $\bar{Y}$）是充分且完全統計量。根據 Lehmann-Scheffé 定理，只要找到一個基於充分統計量的不偏估計量，它就是 UMVUE。
小題 (二)
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首先利用 MLE 的不變性（Invariance Property）。先求出母數 $\theta$ 的 MLE，再將其代入機率表達式中。機率 $P(Y_{(1)} < 1)$ 可以透過指數分配極小值的性質求得。已知 $Y_{(1)} sim ext{Exp}$，其平均數為單一變數平均數的 $1/n$。寫出機率關於 $ heta$ 的函數後代入 $hat{ heta}_{MLE}$。
小題 (三)
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處理極大與極小的聯手機率時，建議使用事件分解。事件 ${Y_{(1)} > 1, Y_{(n)} > 2}$ 表示「所有樣本都大於 1」且「至少有一個樣本大於 2」。這可以看作是「所有樣本都大於 1」的集合減去「所有樣本都在 (1, 2] 之間」的集合。利用 i.i.d. 的特性，將 $n$ 個樣本的聯合機率化為單一樣本機率的 $n$ 次方。