普考申論題
106年
[統計] 統計學概要
第 二 題
📖 題組：
工廠有兩條節能燈泡的生產線，老闆想知道這兩條生產線生產的節能燈泡之平均壽命是否有差異，於是自這兩條生產線分別隨機抽取 5 和 6 個節能燈泡並量測其壽命。兩條生產線抽取的節能燈泡壽命（單位：千小時）如表所示。假設兩條生產線的節能燈泡壽命呈常態分配。 壽命 燈泡 生產線 1 生產線 2 1 38 63 2 44 53 3 47 56 4 44 54 5 52 64 6 － 62
工廠有兩條節能燈泡的生產線，老闆想知道這兩條生產線生產的節能燈泡之平均壽命是否有差異，於是自這兩條生產線分別隨機抽取 5 和 6 個節能燈泡並量測其壽命。兩條生產線抽取的節能燈泡壽命（單位：千小時）如表所示。假設兩條生產線的節能燈泡壽命呈常態分配。 壽命 燈泡 生產線 1 生產線 2 1 38 63 2 44 53 3 47 56 4 44 54 5 52 64 6 － 62
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
檢定這兩條生產線生產的燈泡壽命之母體平均值是否相等。顯著水準皆為 0.1。（14 分）
思路引導 VIP
這是一道獨立雙樣本母體平均數差異的假設檢定題。因母體變異數未知且樣本數較小（n1=5, n2=6），在分別計算樣本變異數後發現兩者相近，故應合理假設兩母體變異數相等，並採用合併變異數（Pooled Variance）的 t 檢定。解題須嚴格遵循標準程序：建立對立假設、計算樣本統計量、代入 t 分配公式、比對臨界值，並給出最終檢定結論。
小題 (一)
檢定生產線 2 所生產的燈泡壽命之母體標準差是否超過 10（千小時）。顯著水準為 0.05。（6 分）
思路引導 VIP
本題旨在檢定「單一常態母體之標準差（或變異數）」，考生應立即聯想到利用卡方分配（Chi-square distribution）進行檢定。解題關鍵在於：正確計算樣本變異數，設立右尾檢定假說（H1: σ > 10），並將檢定統計量與對應自由度的卡方臨界值進行比較。
📜 參考法條
附表：Critical Values of the F-Distribution
附表：Spearman 等級相關係數的臨界值
附表：t 分配右尾百分點 t_alpha(df)
附表：卡方分配右尾百分點 chi^2_alpha(df)
附表：標準常態分配值
獨立雙樣本 t 檢定
💡 檢定兩獨立常態母體在變異數未知下的平均值差異。
🔗 獨立樣本 t 檢定解題流程
- 1 1. 建立假設 — 設定 H0: μ1=μ2 與 H1: μ1≠μ2，並標明 α。
- 2 2. 計算統計量 — 求出兩組樣本的平均數與樣本變異數。
- 3 3. 合併變異數 — 計算合併變異數 Sp^2 與自由度 df=n1+n2-2。
- 4 4. 檢定統計量 — 代入公式計算 t 觀測值並查出 t 臨界值。
- 5 5. 決策結論 — 比較觀測值與臨界值，決定是否拒絕虛無假設。
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🔄 延伸學習：若題目未說明變異數相等，實務上應先進行 F 檢定確認變異數齊一性。
