普考申論題 106年 [衛生行政] 流行病學與生物統計學概要

第二題

📖 題組：
甲、乙兩個研究團隊皆擬調查北區大專院校學生每天吃早餐習慣的比例，分別自母群體中抽取不同的隨機樣本，甲研究團隊抽取 2,000 位學生，在這些學生中 400 位有每天吃早餐之習慣，而乙研究團隊則抽取 250 位學生，其中 50 位有每天吃早餐之習慣，請回答以下問題：

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (二)

另一名研究者質疑甲、乙兩個研究團隊以不同的樣本數進行調查，假設「北區大專院校學生每天吃早餐習慣比例」和甲、乙兩個研究團隊調查之估計值相同，若95%信賴區間的寬度預計在 5%以內，則應該至少抽取的樣本數為何？（8 分）

看到估計母體比例並給定『信賴區間寬度』的題目，應優先想到使用信賴區間寬度公式推導樣本數。先求出甲乙兩團隊的比例估計值（皆為0.2），再代入寬度公式 $W = 2 \times Z \times \sqrt{p(1-p)/n} \le 0.05$ 求解，並記得樣本數需無條件進位至整數。

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【解題關鍵】利用母體比例之 95% 信賴區間寬度（Width）公式，代入給定參數反推所需的最小樣本數。【解答】計算：

請分別計算甲、乙兩個研究團隊調查「北區大專院校學生每天吃早餐習慣比例」的標準誤，並比較說明之。（10 分）

本題測驗「樣本比例的標準誤」計算與其生物統計意涵。首先需寫出比例的標準誤公式 SE = √(p(1-p)/n)，並代入甲、乙兩團隊的數據。最後比較兩者結果，點出「樣本數越大，標準誤越小，估計越精確」的統計與流行病學意義。

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【解題關鍵】應用樣本比例之標準誤公式 $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$，並理解標準誤大小與樣本數平方根成反比的統計意涵。【解答】一、樣本比例與標準誤計算

假設研究者在調查前，完全無法預知有多少比例的北區大專院校學生有每天吃早餐習慣，在同樣的「95%信賴區間的寬度預計在 5%以內」條件下，最大需抽取的樣本數應為何？（7 分）

看到本題應立刻聯想到「估計母體比例的樣本數計算公式」。關鍵字「完全無法預知比例」代表應代入估計比例 p=0.5 以求得最大變異量（最保守估計）；「信賴區間寬度在 5% 以內」代表單側的誤差容忍度（Margin of Error）為 2.5%（0.025），代入公式計算後無條件進位至整數即可得解。

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【解題關鍵】估計母體比例之最大樣本數公式為 $n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{d^2}$，在無先驗資訊時應設定 $p=0.5$ 以求得最大樣本數。【解答】計算：

附表一：標準常態分佈表

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