高考申論題
106年
[天文] 太陽系
第 一 題
📖 題組：
當刻卜勒(Kepler)分析第谷的觀測數據提出行星運動三定律時,屬於經驗法則,牛頓則能依據萬有引力假設與運動三定律推導出刻卜勒三定律。行星m繞太陽M公轉,牛頓認為兩天體間的重力 F=GMm/r²,其中r為兩天體間的距離,G為重力常數,依據牛頓力學推導刻卜勒第二定律與第三定律。試問:(每小題10分,共20分)
當刻卜勒(Kepler)分析第谷的觀測數據提出行星運動三定律時,屬於經驗法則,牛頓則能依據萬有引力假設與運動三定律推導出刻卜勒三定律。行星m繞太陽M公轉,牛頓認為兩天體間的重力 F=GMm/r²,其中r為兩天體間的距離,G為重力常數,依據牛頓力學推導刻卜勒第二定律與第三定律。試問:(每小題10分,共20分)
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
運用角動量(L)守恆概念,推導出行星運動第二定律:行星與太陽的連線,在相同時間內,掃過相同的面積。
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想「中心力場」與「角動量守恆」的物理關係。推導步驟為：先證明萬有引力作為中心力不產生力矩，使得角動量向量守恆；接著利用微積分的幾何意義，寫出微小時間內掃過的三角形面積公式，將面積速率與角動量產生數學連結即可得證。
小題 (二)
令行星繞太陽公轉週期為T。如果行星繞太陽的軌道為正圓,推導出Kepler行星運動第三定律:r的三次方與T的平方之比為定值。
思路引導 VIP
本題為經典的古典力學推導。解題關鍵在於認知到「萬有引力提供行星作等速圓周運動所需的向心力」，只需將牛頓萬有引力公式與圓周運動向心力公式（以週期 T 展開）等號聯立，再移項整理即可證得。