高考申論題
106年
[工業工程] 作業研究
第 一 題
📖 題組：
我們有兩個產品，夾克與外套。生產它們要用到三種原料（棉花、尼龍、羊毛）。夾克所需之原料為棉花與尼龍，外套所需之原料為尼龍與羊毛。我們現有棉花的總量為 20 單位，尼龍的總量為 18 單位，羊毛的總量為 8 單位。每生產一批夾克需用 2 單位的棉花與 1 單位的尼龍；每生產一批外套需用 2 單位的尼龍與 1 單位的羊毛。其中夾克每批的利潤為 4 百萬，外套每批的利潤為 8 百萬。令 x1 代表要生產夾克的批數；x2 代表生產外套的批數。
我們有兩個產品，夾克與外套。生產它們要用到三種原料（棉花、尼龍、羊毛）。夾克所需之原料為棉花與尼龍，外套所需之原料為尼龍與羊毛。我們現有棉花的總量為 20 單位，尼龍的總量為 18 單位，羊毛的總量為 8 單位。每生產一批夾克需用 2 單位的棉花與 1 單位的尼龍；每生產一批外套需用 2 單位的尼龍與 1 單位的羊毛。其中夾克每批的利潤為 4 百萬，外套每批的利潤為 8 百萬。令 x1 代表要生產夾克的批數；x2 代表生產外套的批數。
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (一)
請寫出考慮受限於原料的限制下，最大化利潤的線性規劃問題以決定兩產品最佳生產批數。（5 分）
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面對線性規劃建模題，首先明確定義「決策變數」（題意已給定 x1, x2）。接著，根據單位利潤建立「目標函數」，最後依據單位產品的資源消耗率與資源總量上限，逐一列出各項資源的「限制式」，並切記補上變數的非負限制條件。
小題 (二)
我們對最佳解有額外之考量，請就 1. 生產夾克的批數要多於外套的批數與 2. 生產外套的批數要多於夾克的批數，利用 simplex 法求解分別之最佳解。（15 分）（註：請先用 simplex 法求解再考慮 1. 與 2. 之最佳解）
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本題考查線性規劃建模與單純形法（Simplex Method）的完整求解過程。考生應先將問題標準化求出原最佳解，接著面對新增的條件限制時，必須察覺這是「加入新限制式」的敏感度分析，最標準的作法是將新條件以現有基底變數代換後加入最終單純形表，並運用對偶單純形法（Dual Simplex Method）有效求解。
小題 (三)
在上述的最佳解下，我們會向市場購買一單位尼龍之價格不能超過多少？為什麼？（5 分）
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判斷本題詢問「增加一單位資源所能帶來的最大價值」，即為求該資源（尼龍）的「影子價格（Shadow Price）或對偶變數（Dual Variable）」。透過建立線性規劃模型並觀察目標函數與限制式的關係，或直接求解對偶問題，即可得出資源的最高願付價格。
小題 (四)
我們不打算生產而想將現在手中所有的原料在市場賣出。我們須決定最佳的售價價格。令棉花的單位價格訂為 y1，尼龍的單位價格訂為 y2，羊毛的單位價格訂為 y3。所以全部原料的總售價則為 20y1 + 18y2 + 8y3。我們的原則是將生產一批夾克所需原料賣掉的價格至少不能低於一批夾克的利潤（如此我們才願意賣原料而不生產）；將生產一批外套所需原料賣掉的價格至少不能低於一批外套的利潤。如果我們要賣原料，我們則應在滿足上述的前提下，盡量壓低我們的總售價 20y1 + 18y2 + 8y3 以增加市場銷售上的競爭力。請寫出相關的線性規劃問題用以決定最佳化售價（不用求解）。（5 分）
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考生看到此題應立即聯想到線性規劃中的「對偶問題（Dual Problem）」。原生產問題是最大化利潤，此題則是從資源定價（影子價格）的經濟視角出發，將目標設為最小化總售價，並將「賣原料收益不低於產品利潤（機會成本）」轉換為大於等於的限制條件。
小題 (五)
利用與參考 (二) 之最終表格，找出最佳之售價 yi, i = 1,2,3（不用求解）。（5 分）
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本題考查線性規劃的對偶理論與影子價格（Shadow Price）概念。對偶變數 $y_i$ 的最佳解即為各項資源的影子價格，無須重新計算，可直接在原始問題的最終單純形表中，尋找目標函數列（Row 0 或 Z-row）上對應初始鬆弛變數的係數值。