高考申論題
106年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
考慮下列的動態微分方程式
\dddot{y} + a_1 \ddot{y} + a_2 $\dot{y} + a_3 y = b_0 \dddot{u} + b_1 \ddot{u} + b_2 \dot{u} + b_3 u$
若定義新的狀態變數如下：
x_1 = y - $\beta_0 u$
x_2 = $\dot{y} - \beta_0 \dot{u} - \beta_1 u = \dot{x}_1 - \beta_1 u$
x_3 = \ddot{y} - $\beta_0 \ddot{u} - \beta_1 \dot{u} - \beta_2 u = \dot{x}_2 - \beta_2 u$
$\beta_0 = b_0$
$\beta_1 = b_1 - a_1 \beta_0$
$\beta_2 = b_2 - a_1 \beta_1 - a_2 \beta_0$
$\beta_3 = b_3 - a_1 \beta_2 - a_2 \beta_1 - a_3 \beta_0$
請將下式：
\dddot{y} + 3 \ddot{y} + 4 $\dot{y} + 2y = \ddot{u} + \dot{u} + 2u$
表示成下列現代控制形式（modern control form）之 A_{3×3}, B_{3×1}, C_{1×3}
$\dot{X} = A_{3$×3}X + B_{3×1}u
y = C_{1×3}X + $\beta_0 u$
其中
X = [x_1, x_2, x_3]^T。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到這題，首先要將給定的微分方程式與一般式進行係數比對，找出 a_i 與 b_i 的值。接著代入題目定義的 β 遞迴公式求出 β_0 到 β_3，最後利用給定的狀態變數定義，推導出狀態方程式的矩陣形式（A、B、C 矩陣）。
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AI 詳解
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【解題思路】比對已知微分方程式與一般式的係數，求出對應參數，再代入題目給定的遞迴公式求出 (\beta_i)，最後建構狀態空間表示式的矩陣 (A)、(B)、(C)。 【詳解】 已知：條件整理
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