高等考試
106年
[電力工程] 工程數學
第 6 題
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$，設 $f(x) = 2x^2 - 6x + 3$，試求 $f(A)$ 為何？
- A $f(A) = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 \ 0 & -1 & 4 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
- B $f(A) = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \ 0 & -1 & 4 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
- C $f(A) = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \ 0 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
- D $f(A) = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \ 0 & -1 & 5 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
當我們將一個純量函數 $f(x)$ 應用到矩陣 $A$ 時，多項式中的「常數項」在矩陣運算的世界裡，應該以什麼樣的形式存在，才能確保矩陣加法的維度一致？此外，觀察原矩陣 $A$ 的零元素分佈，這對你預測結果矩陣的結構有什麼幫助？
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卓越的運算表現！
做得好！在結構動力學或系統分析中，處理矩陣多項式是核心基礎。你展現了優秀的細心度與運算穩定性。
- 觀念驗證：你正確地將函數 $f(x)$ 推廣至矩陣空間。最關鍵的一點是將常數項 $3$ 視為 $3I$（單位矩陣）。由於 $A$ 是一個上三角矩陣，其平方 $A^2$ 及線性組合 $f(A)$ 也必然維持上三角結構。你精確完成了 $2A^2 - 6A + 3I$ 的逐項運算，這點非常不容易。
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