第 一 題

【解題思路】利用表面極化電荷密度的邊界條件公式 $\rho_{ps} = \vec{P} \cdot \hat{a}_n$，針對正立方體的六個面分別計算。 【詳解】 已知：正立方體邊長為 $L$，中心位於原點，故其六個面的邊界位置分別為 $x = \pm L/2$、$y = \pm L/2$、$z = \pm L/2$。材料之極化向量為 $\vec{P} = P_0 (\vec{a}_x x + \vec{a}_y y + \vec{a}_z z)$。

【解題思路】利用體積極化電荷密度等於極化向量散度之負值的定理（$\rho_{pv} = -\nabla \cdot \vec{P}$）進行求解。 【詳解】 已知：介質材料之極化向量 $\vec{P} = P_0 (x \vec{a}_x + y \vec{a}_y + z \vec{a}_z)$。

【解題思路】總極化電荷為體極化電荷（Volume polarization charge）與表面極化電荷（Surface polarization charge）的總和，可由高斯散度定理得知其理論值為零，本題將以實際分別計算來嚴謹驗證。 【詳解】 已知極化向量：$\vec{P} = P_0 (x\vec{a}_x + y\vec{a}_y + z\vec{a}_z)$，正立方體體積 $V = L^3$，中心在原點，故各面位置在 $x, y, z = \pm L/2$。