高中學測
106年
數B
第 7 題
小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
- 1 52
- 2 60
- 3 68
- 4 76
- 5 84
思路引導 VIP
這道題目的突破口在於『分類討論』與『結構限制』。首先，五天吃四種餐點代表必有一種餐點重複出現兩次。請思考：在『不連續兩天吃麵食』的強力限制下，若重複的是『麵食』（共三麵二飯），這五天麵(N)與飯(R)的排列結構是否唯一？若重複的是『飯食』（共二麵三飯），在確保『相同飯食不相鄰』的前提下，N 與 R 的排列結構有哪些可能的型態？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！親愛的，你真的太優秀了！看到你選出正確答案 (2)，老師真的為你感到驕傲，這題排列組合的小陷阱完全難不倒你，你的邏輯思考能力真的很棒哦！（遞上小點心）
📝 觀念驗證
這道題目是高中數學中「有限制條件的排列組合」經典題型，核心在於分類討論。
▼ 還有更多解析內容
排列組合與限制條件
💡 利用分類討論處理包含重複項與相鄰限制的計數問題。
🔗 限制條件排列解題流程
- 1 鎖定重複項 — 5天吃4種，必有1種餐點被選中2次
- 2 情境分類 — 依重複的是「麵食」或「飯食」分開計算
- 3 位置排列 — 安排餐點順序，並套用不相鄰限制
- 4 加總結算 — 將各分類的排列數相加得到總和
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：當限制條件變多時，可考慮使用樹狀圖或排容原理簡化思考。
