調查局四等申論題
106年
[電子科學組] 電子學與電路學概要
第 二 題
二、說明電路轉移函數（Transfer Function）的極點（Pole）位於複數平面（Complex Plane）的左半平面、右半平面或在虛軸上時，該電路的穩定性（Stability）為何？（注意：須詳述理由），並說明有重根的情形。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想「拉氏反轉換」與「時域自然響應」的關係。解題切入點是令極點 $s = \sigma + j\omega$，並推導其時域響應 $e^{st} = e^{\sigma t}e^{j\omega t}$。接著依據實部 $\sigma$ 的正負號（左半、右半、虛軸）判斷指數項的收斂與發散，特別要注意「重根」在拉氏反轉換中會產生時間多項式 $t^n$ 的乘積效應，這會直接改變虛軸極點的穩定性結論。
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【解題思路】利用拉氏反轉換（Inverse Laplace Transform）將轉移函數的極點位置映射至時域響應，並透過分析自然響應（Natural Response）隨時間趨近無限大（$t \to \infty$）時的收斂性，來嚴格定義並證明系統的穩定度。 【詳解】 已知：對於一個線性非時變（LTI）系統，其轉移函數為 $H(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$。系統的極點（Poles）即為特徵方程式 $D(s) = 0$ 的根。令極點位於複數平面 $s = \sigma + j\omega$。
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