第 一 題

看到「估計母體平均數」，應立即聯想到利用「樣本平均數（Sample Mean）」作為母體平均數的不偏估計量（Unbiased Estimator）。將抽出的 4 筆期中考與期末考分數分別獨立加總後除以樣本數 n=4 即可得解。

遇到「估計母體變異數」的題型，首要判斷應使用「樣本變異數（Sample Variance）」作為母體變異數的不偏估計量（Unbiased Estimator）。計算時務必注意分母為自由度 $(n-1)$ 而非 $n$，解題步驟為：先求出各自的樣本平均數，再代入公式計算離差平方和並除以自由度。

看到「估計」相關係數，應直覺想到利用樣本相關係數 (r) 作為母體相關係數 (ρ) 的點估計量。解題時應先有條理地計算出 X 與 Y 的樣本平均數，接著求出 X 的變異平方和 (Sxx)、Y 的變異平方和 (Syy) 與兩者的交乘積和 (Sxy)，最後代入相關係數公式求解以避免計算錯誤。

本題核心在於將文字敘述「是否有差異」轉化為嚴謹的統計假設。考生應先明確定義對應的母體參數（$\mu_1, \mu_2$或成對差值平均 $\mu_D$），再依據『無差異等於 0』為虛無假設、『有差異不等於 0』為雙尾對立假設的原則列出數學式。

本題關鍵在於辨識出資料型態為來自同一組學生的「成對樣本（Paired Samples）」。因為要比較同一組人的期中與期末成績差異，且母體變異數未知、樣本數甚小（n=4），故必須定義差值變數 D=X-Y，並採用「成對樣本 t 檢定（Paired t-test）」。其統計量在虛無假設（平均差異為零）下將服從自由度為 n-1 的 t 分配。

由於是同一批同學的期中與期末成績比較，資料具有配對相依性，必須使用「成對樣本 t 檢定 (Paired t-test)」。解題時應先計算出各組分數的差值，求出差值的樣本平均數與樣本標準差後，再代入檢定統計量公式計算。