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高考申論題 107年 [工業工程] 作業研究

第 三 題

📖 題組：
四、考慮下列某產品三個不同品牌（A、B、C）的單階（每月）轉換機率矩陣： A B C A [0.6 0.3 0.1] P = B [0.3 0.5 0.2] C [0.1 0.7 0.2] (一)計算 P2 及 P3。（8 分） (二)計算穩定狀態機率。（5 分） (三)若目前的市場佔有率分別為 0.4、0.5、0.1，則兩個月後的市場佔有率分別是多少？三個月後是多少？長期下來是多少？（9 分） (四)若該產品的市場有 20,000 位顧客，平均每位顧客一年購買一次，品牌 A、B、C 的售價分別為$1,200、$1,100、$950，則長期下來，該產品每年的總銷售額是多少？（8 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題

小題 (三)

若目前的市場佔有率分別為 0.4、0.5、0.1，則兩個月後的市場佔有率分別是多少？三個月後是多少？長期下來是多少？（9 分）

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  1. 設初始向量 $v_0 = [0.4, 0.5, 0.1]$。 2. $n$ 個月後市場佔有率為 $v_n = v_0 imes P^n$。 3. 長期下來的佔有率即為第(二)小題求出的穩定狀態機率 $\pi$。
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【分析與論述】

  1. 兩個月後 $v_2 = v_0 imes P^2 = [0.4, 0.5, 0.1] \begin{bmatrix} 0.46 & 0.40 & 0.14 \ 0.35 & 0.48 & 0.17 \ 0.29 & 0.52 & 0.19 \end{bmatrix} = [0.388, 0.452, 0.160]$
  2. 三個月後 $v_3 = v_0 imes P^3 = [0.4, 0.5, 0.1] \begin{bmatrix} 0.410 & 0.436 & 0.154 \ 0.371 & 0.464 & 0.165 \ 0.349 & 0.480 & 0.171 \end{bmatrix} = [0.3844, 0.4544, 0.1612]$

小題 (一)

計算 P2 及 P3。（8 分）

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  1. 矩陣乘法：$P^2 = P imes P$，依照矩陣乘法規則（列乘行）計算。 2. $P^3 = P^2 imes P$。 3. 注意計算精確度，通常保留到小數點後三至四位。
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【考點分析】 考查馬可夫鏈中的多階轉移機率矩陣計算。 【分析與論述】

小題 (二)

計算穩定狀態機率。（5 分）

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  1. 設穩定狀態向量為 $\pi = [\pi_A, \pi_B, \pi_C]$。 2. 聯立方程式：$\pi P = \pi$ 且 $\pi_A + \pi_B + \pi_C = 1$。 3. 解線性方程組。
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【考點分析】 馬可夫鏈的長期均衡分析（Steady-state probabilities）。 【分析與論述】

小題 (四)

若該產品的市場有 20,000 位顧客，平均每位顧客一年購買一次，品牌 A、B、C 的售價分別為$1,200、$1,100、$950，則長期下來，該產品每年的總銷售額是多少？（8 分）

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  1. 利用穩定狀態機率計算各品牌顧客數：顧客數 $\times \pi_i$。 2. 計算各品牌銷售額：各品牌顧客數 $\times$ 各品牌售價。 3. 加總得到總銷售額。
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【分析與論述】

  1. 品牌 A 顧客數 = $20,000 imes 0.382 = 7,640$ 人；銷售額 = $7,640 imes 1,200 = 9,168,000$
  2. 品牌 B 顧客數 = $20,000 imes 0.456 = 9,120$ 人；銷售額 = $9,120 imes 1,100 = 10,032,000$

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