高考申論題
112年
[工業工程] 作業研究
第 一 題
📖 題組：
三、某一離島城市有三家燒烤店（甲、乙、丙），目前市場的占有率依序分別是20%、40%和40%，顧客平均大約每個月至燒烤店消費一次，而顧客對這三家燒烤店偏好的轉移機率矩陣如下表所示（例如：顧客本次在甲店消費，下次在甲店、乙店、丙店消費的機率分別為0.7、0.2、0.1）： 轉移矩陣 P = [ 0.7 0.2 0.1 ] (甲) [ 0.1 0.8 0.1 ] (乙) [ 0.1 0.3 0.6 ] (丙) (一)某消費者若本次在乙店消費，下下次仍在乙店消費的機率為多少？（5分） (二)兩個月後，各店的市場占有率各為多少？（5分） (三)經過長時間後，各店的市場占有率各為多少？（5分） (四)若目前市場的占有率依序分別是40%、30%和30%，則經過長時間後，各店的市場占有率各為多少？（5分）
三、某一離島城市有三家燒烤店（甲、乙、丙），目前市場的占有率依序分別是20%、40%和40%，顧客平均大約每個月至燒烤店消費一次，而顧客對這三家燒烤店偏好的轉移機率矩陣如下表所示（例如：顧客本次在甲店消費，下次在甲店、乙店、丙店消費的機率分別為0.7、0.2、0.1）： 轉移矩陣 P = [ 0.7 0.2 0.1 ] (甲) [ 0.1 0.8 0.1 ] (乙) [ 0.1 0.3 0.6 ] (丙) (一)某消費者若本次在乙店消費，下下次仍在乙店消費的機率為多少？（5分） (二)兩個月後，各店的市場占有率各為多少？（5分） (三)經過長時間後，各店的市場占有率各為多少？（5分） (四)若目前市場的占有率依序分別是40%、30%和30%，則經過長時間後，各店的市場占有率各為多少？（5分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
某消費者若本次在乙店消費，下下次仍在乙店消費的機率為多少？（5分）
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本題考查馬可夫鏈的 Chapman-Kolmogorov 方程式（n步轉移機率）。求「下下次」即為2步轉移機率，可直接透過計算轉移矩陣 P 的平方矩陣中對應位置的元素（乙到乙），或將所有可能經過的中間狀態路徑機率加總求得。
小題 (二)
兩個月後，各店的市場占有率各為多少？（5分）
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考查離散時間馬可夫鏈（Discrete-time Markov Chain）的狀態機率計算。已知初始市場占有率向量與一步轉移矩陣，要求兩個月後的市占率，可利用遞迴公式逐步計算經過兩次轉移後的狀態機率向量。
小題 (三)
經過長時間後，各店的市場占有率各為多少？（5分）
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看到「長時間後」的市場占有率，應立即聯想到馬可夫鏈的「穩定狀態機率（Steady-state probability）」。解題關鍵為設立極限機率向量，並透過聯立方程式 πP = π 以及機率總和 Σπ_i = 1 進行數學推導求得最終解。
小題 (四)
若目前市場的占有率依序分別是40%、30%和30%，則經過長時間後，各店的市場占有率各為多少？（5分）
思路引導 VIP
考生看到此題應立刻聯想到馬可夫鏈的「穩態機率（Steady-state probabilities）」性質。對於正規則馬可夫鏈，長期市場占有率與「初始狀態」無關，因此計算方式與結果皆與前一小題相同，重點在於論述此一數學性質並再次列出穩態方程式求解。