高考申論題
114年
[工業工程] 作業研究
第 一 題
📖 題組：
有一小鎮某消費性產品有 A, B, C 三種競爭品牌，經分析消費者若本次購買 A 品牌，則下一次會購買 A, B, C 品牌的機率分別為 0.6, 0.3, 0.1；若本次購買 B 品牌，則下一次會購買 A, B, C 品牌的機率分別為 0.3, 0.5, 0.2；若本次購買 C 品牌，則下一次會購買 A, B, C 品牌的機率分別為 0.1, 0.2, 0.7。
有一小鎮某消費性產品有 A, B, C 三種競爭品牌，經分析消費者若本次購買 A 品牌，則下一次會購買 A, B, C 品牌的機率分別為 0.6, 0.3, 0.1；若本次購買 B 品牌，則下一次會購買 A, B, C 品牌的機率分別為 0.3, 0.5, 0.2；若本次購買 C 品牌，則下一次會購買 A, B, C 品牌的機率分別為 0.1, 0.2, 0.7。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
寫出此問題的一階移轉機率矩陣（transition matrix）。（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗馬可夫鏈（Markov Chain）的基本概念。解題關鍵在於明確定義狀態空間（品牌 A, B, C），並將題意中的條件機率依序填入矩陣中，確認矩陣的每一列（Row）移轉機率總和皆必須為 1。
小題 (二)
計算穩定狀態機率。（5 分）
思路引導 VIP
本題為標準的馬可夫鏈（Markov Chain）應用。解題關鍵在於先列出狀態移轉機率矩陣 $P$，接著利用穩定狀態的方程式 $\pi P = \pi$ 與機率總和 $\sum \pi_i = 1$ 解線性聯立方程式。
小題 (三)
若此消費性產品的市場有 10,000 名消費者，每位消費者平均一年購買一次，A, B, C 品牌的單位售價分別為$600, $900, $1,200。請計算長期下來該消費性產品每年的總銷售額為多少？（10 分）
思路引導 VIP
此題給定購買行為的狀態轉移機率且詢問「長期」結果，考點必為馬可夫鏈（Markov Chain）的穩定狀態（Steady-State Probabilities）。考生應先列出轉移機率矩陣 P，利用 πP = π 及 Σπ_i = 1 聯立解出各品牌的長期市占率，最後再乘上總人數與各自售價求得總銷售額。
馬可夫鏈與穩定狀態
💡 利用轉移矩陣描述狀態變動，並求得長期動態平衡機率。
🔗 馬可夫鏈問題求解流程
- 1 建立轉移矩陣 — 依據狀態變動機率填入 P 矩陣且列和為 1
- 2 列出平衡方程 — 設定 πP = π，並補上 Σπi = 1 的限制
- 3 求得穩定機率 — 解聯立方程，求出各品牌長期的市場佔有率
- 4 計算最終價值 — 結合消費人數、頻率與售價，計算總期望金額
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：可探討初始狀態對短期預測的影響。
