高考申論題
111年
[工業工程] 作業研究
第 一 題
📖 題組：
臺灣之鄉村、城市以及移居海外（包括國外及大陸）的人口變化越來越顯著。根據某研究單位資料顯示，在一年內，所有鄉村的人口有 60% 繼續留在鄉村，20% 遷往城市，20% 移居海外；所有城市的人口有 90% 留在城市，3% 遷往鄉村，7% 移居海外；所有移居海外者有 5% 返國定居在城市，其餘繼續留在海外。假設以上的人口移動百分比在未來五年內均維持不變：（計算時小數點請四捨五入至第二位）
臺灣之鄉村、城市以及移居海外（包括國外及大陸）的人口變化越來越顯著。根據某研究單位資料顯示，在一年內，所有鄉村的人口有 60% 繼續留在鄉村，20% 遷往城市，20% 移居海外；所有城市的人口有 90% 留在城市，3% 遷往鄉村，7% 移居海外；所有移居海外者有 5% 返國定居在城市，其餘繼續留在海外。假設以上的人口移動百分比在未來五年內均維持不變：（計算時小數點請四捨五入至第二位）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
轉換機率矩陣（transition matrix）。（5 分）
思路引導 VIP
- 定義狀態：本題有三個狀態：鄉村 (R)、城市 (U)、海外 (O)。
- 構建矩陣：建立一個 $3 \times 3$ 的矩陣，每一列代表目前的狀態，每一欄代表下一年的狀態。
小題 (二)
如果小邱現在住在鄉村，那麼兩年後他遷往城市的機率是多少？（10 分）
思路引導 VIP
- 識別需求：求 $t=2$ 時的狀態機率。起始狀態為鄉村（即初始向量 $[1, 0, 0]$）。
- 計算方法：兩步轉移機率即為 $P^2$。我們只需要求 $P^2$ 矩陣中第一列、第二欄的元素 $(P^2)_{12}$。
小題 (三)
假設現在所有臺灣人民中，有 20% 居住在鄉村、65% 在城市、15% 移居海外，那麼三年後居住在各地（鄉村、城市、海外）的百分比分別是多少？（10 分）
思路引導 VIP
- 設定初始分佈向量：$\pi(0) = [0.20, 0.65, 0.15]$。
- 計算目標：求 $\pi(3) = \pi(0) \cdot P^3$。