高考申論題
107年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
四、某大學某系所 60 位學生針對 107 年公投議題進行假投票，他們的座號從「01」開始一直編到「60」。抽樣方法課的授課師長為了示範系統抽樣，私底下先詢問了全班每一位同學對「議題甲」的個人意見。發現座號「04, 05, 07, 10, 15, 17, 19, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 37, 39, 45, 46, 50, 53, 58, 60」的這幾位同學表示支持議題甲。現在引用「每 5 個取 1 個」的系統抽樣估計支持者的比例。 請回答：如果系統抽樣的起始座號是 03， (一)支持議題甲的樣本比例等於多少（答案請用分數表達）？（15 分） (二)估計上述樣本比例的變異數（答案請四捨五入到第四位小數）。（10 分） (三)假設估計誤差被定義為上述變異數放大 4 倍後的正方根，請問第一小題樣本比例的估計誤差等於多少（答案請四捨五入到第四位小數）？（5 分）
四、某大學某系所 60 位學生針對 107 年公投議題進行假投票，他們的座號從「01」開始一直編到「60」。抽樣方法課的授課師長為了示範系統抽樣，私底下先詢問了全班每一位同學對「議題甲」的個人意見。發現座號「04, 05, 07, 10, 15, 17, 19, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 37, 39, 45, 46, 50, 53, 58, 60」的這幾位同學表示支持議題甲。現在引用「每 5 個取 1 個」的系統抽樣估計支持者的比例。 請回答：如果系統抽樣的起始座號是 03， (一)支持議題甲的樣本比例等於多少（答案請用分數表達）？（15 分） (二)估計上述樣本比例的變異數（答案請四捨五入到第四位小數）。（10 分） (三)假設估計誤差被定義為上述變異數放大 4 倍後的正方根，請問第一小題樣本比例的估計誤差等於多少（答案請四捨五入到第四位小數）？（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
支持議題甲的樣本比例等於多少（答案請用分數表達）？（15 分）
思路引導 VIP
本題測驗系統抽樣（Systematic Sampling）的樣本選取邏輯與樣本比例計算。看到題目先確認母體大小、抽樣間距及起始號碼，寫出被抽中的樣本座號後，再去比對母體中支持者的名單，算出樣本中的支持人數以求得比例。
小題 (二)
估計上述樣本比例的變異數（答案請四捨五入到第四位小數）。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗系統抽樣下的變異數估計。由於單一系統樣本無法直接計算不偏變異數估計量，解題關鍵在於假設母體隨機排列，並借用簡單隨機抽樣（SRS）的變異數估計公式。找出第一小題的樣本比例 p、樣本數 n 與母體數 N 後，代入公式 $\hat{V}(p) = \frac{N-n}{N}\frac{p(1-p)}{n-1}$計算即可。
小題 (三)
假設估計誤差被定義為上述變異數放大 4 倍後的正方根，請問第一小題樣本比例的估計誤差等於多少（答案請四捨五入到第四位小數）？（5 分）
思路引導 VIP
看到這題先明確題目給定的「估計誤差」自定義公式：變異數放大 4 倍後開根號，其實就是計算「兩倍的標準誤 (2×S.E.)」。解題時需承接前一小題的比例變異數估計值，準確代入開根號並乘 2，最後留意四捨五入至小數第四位的要求。