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高考申論題 107年 [醫務管理] 生物統計學與流行病學

第 一 題

📖 題組：
某研究想要評估年齡與收縮壓（毫米汞柱）間的關係，收集 131 人，研究結果得到年齡與收縮壓的皮爾森相關係數為 0.416；另外也得到簡單線性迴歸模式及變異數分析表如下： ŷ = 84.88 + 0.79x 變異數分析表： 變異來源 | 平方和 | 自由度 | 均方 | F 值 | P 值 迴歸模型 | 13692.02 | 1 | 13692.02 | 27.06 | <0.001 殘差 | 65265.22 | 129 | 505.93 總和 | 78957.24 | 130 請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

請用適當的統計方法檢定年齡與收縮壓間的皮爾森相關係數是否有統計上的顯著性？設第一型誤差 α = 0.05。（10 分）

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看到檢定皮爾森相關係數是否顯著，應直覺想到建立母體相關係數為零的虛無假設（H0: ρ=0），並使用 t 檢定公式。此外，也可聯想在簡單線性迴歸中，相關係數的顯著性檢定與迴歸模型（斜率）的 F 檢定是完全等價的（t^2 = F），可利用題幹提供的 ANOVA 表互相驗證，寫出這點能大幅提升答題深度。

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【解題關鍵】檢定皮爾森相關係數是否顯著，需建立虛無假設 $H_0: \rho = 0$，並代入 $t$ 檢定公式 $t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$ 計算檢定統計量；亦可利用簡單線性迴歸中 $t$ 檢定與 $F$ 檢定的等價性進行判斷。 【解答】 Step 1 建立統計假設：

小題 (二)

請解釋上述簡單線性迴歸模式？（設第一型誤差 α = 0.05），並計算當年齡為 60 歲時，其預期的收縮壓值為何？（8 分）

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看到簡單線性迴歸方程式 ŷ = β₀ + β₁x，應先分別針對「截距（β₀）」與「斜率（β₁）」提出具體的變數意義解釋，並結合 ANOVA 表的 P 值檢定結果判斷模型的統計顯著性。預測部分只需將指定的自變數值代入方程式，並標明正確的數值單位即可得分。

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【解題關鍵】簡單線性迴歸係數（截距與斜率）之臨床意義解釋、變異數分析（ANOVA）之顯著性判讀，以及迴歸方程式的代入計算。 【解答】 一、簡單線性迴歸模式（ŷ = 84.88 + 0.79x）解釋

小題 (三)

請計算上述簡單線性迴歸模式的決定係數，並解釋該決定係數的意義。（7 分）

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看到決定係數的計算，應立刻聯想其兩大求法：一是利用 ANOVA 表的迴歸平方和除以總平方和 (SSR/SST)；二是簡單線性迴歸獨有的特性，即皮爾森相關係數的平方 (r²)。計算出數值後，必須精準套用生物統計標準定義：『依變項的總變異中，能被自變項解釋的百分比』來作答。

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【解題關鍵】決定係數（R²）的定義公式為迴歸平方和與總平方和之比（R² = SSR / SST），在簡單線性迴歸中亦等於皮爾森相關係數的平方（R² = r²）。 【解答】 計算：

📜 參考法條

(t129,0.95 = 1.657；t129,0.975 = 1.979；t130,0.95 = l.657；t130,0.975 = l.978)

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