地特三等申論題
108年
[機械工程] 熱力學
第 一 題
📖 題組：
二、一氣體之狀態方程式為 P(ν-a) = RT，其中 P 為壓力，ν 為比體積，T 為溫度，R 為氣體常數，a 為常數。 (一)當等容比熱（Cν）為常數時，證明等壓比熱（Cp）亦為常數。（10 分） (二)當過程為可逆絕熱（reversible adiabatic）狀況時，證明此氣體亦遵循 P(ν-a)^k = Constant（常數），其中 k 為比熱比（ratio of specific heat= Cp /Cν）。（10 分）
二、一氣體之狀態方程式為 P(ν-a) = RT，其中 P 為壓力，ν 為比體積，T 為溫度，R 為氣體常數，a 為常數。 (一)當等容比熱（Cν）為常數時，證明等壓比熱（Cp）亦為常數。（10 分） (二)當過程為可逆絕熱（reversible adiabatic）狀況時，證明此氣體亦遵循 P(ν-a)^k = Constant（常數），其中 k 為比熱比（ratio of specific heat= Cp /Cν）。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
當等容比熱（Cν）為常數時，證明等壓比熱（Cp）亦為常數。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗熱力學一般關係式（Thermodynamic Relations）的應用。看到推導 Cp 與 Cv 的關係，應立刻聯想到比熱差公式 Cp - Cv = T(∂P/∂T)v(∂v/∂T)p。透過對給定狀態方程式求偏導數，證明 Cp - Cv 等於氣體常數 R，即可結合已知條件得出 Cp 亦為常數的結論。
小題 (二)
當過程為可逆絕熱（reversible adiabatic）狀況時，證明此氣體亦遵循 P(ν-a)^k = Constant（常數），其中 k 為比熱比（ratio of specific heat= Cp /Cν）。（10 分）
思路引導 VIP
面對此推導題，應先聯想「可逆絕熱過程」的核心條件 δq = 0，並搭配熱力學第一定律 du + Pdv = 0。接著利用狀態方程式全微分找出 dT, dP, dv 之間的關係，結合 Cp - Cv = R 的性質，透過變數分離並積分，即可嚴謹地推導出目標關係式。