地特三等申論題
110年
[機械工程] 熱力學
第 一 題
📖 題組：
熱力性質關係中的交互或相互關係（reciprocity relations），常被應用來連結量熱狀態方程 [caloric equation of state，u=u (v,T)或 h=h(p,T)] 與熱狀態方程 [thermal equation of state，p=p(v,T)]，針對內能（internal energy）和焓（enthalpy）此關係有兩個形式： $(\frac{\partial u}{\partial v})_T = T(\frac{\partial p}{\partial T})_v - p$ 與 $(\frac{\partial h}{\partial p})_T = v - T(\frac{\partial v}{\partial T})_p$
熱力性質關係中的交互或相互關係（reciprocity relations），常被應用來連結量熱狀態方程 [caloric equation of state，u=u (v,T)或 h=h(p,T)] 與熱狀態方程 [thermal equation of state，p=p(v,T)]，針對內能（internal energy）和焓（enthalpy）此關係有兩個形式： $(\frac{\partial u}{\partial v})_T = T(\frac{\partial p}{\partial T})_v - p$ 與 $(\frac{\partial h}{\partial p})_T = v - T(\frac{\partial v}{\partial T})_p$
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請利用內能表示為體積與溫度之函數[u = u (v,T)]，以及 Tds 關係或稱為吉布斯方程（Gibbs equation）推導出 $(\frac{\partial u}{\partial v})_T = T(\frac{\partial p}{\partial T})_v - p$。（10 分）
思路引導 VIP
看到本題，首先應寫出內能 u(v,T) 的全微分式，接著代入第一 Tds 方程式（Gibbs equation, du = Tds - pdv）來整理出熵 ds 的全微分表示式。最後，利用狀態性質（熵）為恰當微分（exact differential）的數學特性，對其偏微分係數應用尤拉交互關係（Euler's reciprocity relation）即可成功推導出結果。
小題 (二)
請利用理想氣體方程與上述交互關係式，證明理想氣體之內能和焓僅是溫度函數。（10 分）
思路引導 VIP
證明狀態函數僅與溫度有關，數學上的意義是『在恆溫條件下，該函數對其他獨立變數（如壓力、比體積）的偏微分恆等於零』。考生應先寫出單位質量的理想氣體狀態方程式（pv=RT），分別計算出(∂p/∂T)_v與(∂v/∂T)_p，再代入題目給定的兩個熱力學廣義關係式即可輕鬆得證。