地特三等申論題
108年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
以下是關於條件機率以及指數分配（exponential distribution）的問題。（每小題 10 分，共 20 分）
以下是關於條件機率以及指數分配（exponential distribution）的問題。（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
一政府官員在 5 個治安情形不同的國家洽公，假定此政府官員的行程如下：A 國→B 國→C 國→D 國→E 國。如果各國錢包被偷的機率是 A 國為 0.02，B 國為 0.03，C 國為 0.07，D 國為 0.01。已知此官員抵達 E 國時，錢包已被偷（非在 E 國被偷），請問此官員其錢包在 C 國被偷的機率為何？
思路引導 VIP
這是一道經典的條件機率題（類似有名的「遺失雨傘」問題）。解題關鍵在於將行程「A→B→C→D」轉化為序列事件，理解錢包必須在前面的國家沒被偷，才有可能在後續的國家被偷。算出各國被偷的絕對機率後，再以條件機率公式求出「已知被偷」條件下的特定國家被偷機率。
小題 (二)
一辦公室在 A 地之政府官員要到 B 地開會，此官員必須先從辦公室走路 9 分鐘至一公車站，然後坐上公車直達 B 地開會地點。已知在此公車站其任一公車之間隔到達時間服從一平均值 20（分鐘）的指數分配（exponential distribution），其中公車之間隔到達時間是指從這班車離開之時間算起到下一班車到達所需等待之時間。若此官員要不晚於上午 10 點 40 分坐上公車，開會才不會遲到。請問此官員最晚應在什麼時間從辦公室出發，才會有至少 0.9 的機率不會遲到（答案請計算至分鐘單位；log(a)為數字 a 的自然對數值，log(2)=0.69，log(3)=1.1，log(10)=2.3，log(13)=2.56）。
思路引導 VIP
看到公車間隔時間服從指數分配，應立刻想到其「無記憶性（memoryless property）」，代表抵達車站後的等待時間仍為相同平均數的指數分配。接著利用累積機率函數設定不等式，求出滿足機率大於0.9的最大容許等待時間，最後再往回推算步行與出發時刻。