地特三等申論題
108年
[經建行政] 統計學
第 二 題
📖 題組：
以下是關於最大概似估計量（maximum likelihood estimator）以及假設檢定的問題。（每小題 10 分，共 20 分）
以下是關於最大概似估計量（maximum likelihood estimator）以及假設檢定的問題。（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
某電競遊戲設計為共 4 道關卡的闖關遊戲，假定 X 為通過關卡數的隨機變數且其分配是一個成功機率為 p 的二項式分配（binomial distribution），其中 X 的可能值為 0, 1, 2, 3, 4。針對以下假設 $H_0: p = 1/4$ 對 $H_1: p = 1/2$，給定以下 4 種檢定法：
檢定法 A：如果 X=4，則拒絕 $H_0$，反之則不拒絕 $H_0$，即拒絕域（rejection region）為集合{4}；
檢定法 B：如果 X=0，則拒絕 $H_0$，反之則不拒絕 $H_0$，即拒絕域為集合{0}；
檢定法 C：如果 X≤1，則拒絕 $H_0$，反之則不拒絕 $H_0$，即拒絕域為集合{0,1}；
檢定法 D：如果 X=0 或 X=4，則拒絕 $H_0$，反之則不拒絕 $H_0$，即拒絕域為集合{0, 4}。
設定顯著水準為 $\alpha=1/16$，請決定上述 4 種檢定法，那一個或那些檢定法是符合 $\alpha$ 之設定且有最大檢定力（power）的檢定法？
檢定法 A：如果 X=4，則拒絕 $H_0$，反之則不拒絕 $H_0$，即拒絕域（rejection region）為集合{4}；
檢定法 B：如果 X=0，則拒絕 $H_0$，反之則不拒絕 $H_0$，即拒絕域為集合{0}；
檢定法 C：如果 X≤1，則拒絕 $H_0$，反之則不拒絕 $H_0$，即拒絕域為集合{0,1}；
檢定法 D：如果 X=0 或 X=4，則拒絕 $H_0$，反之則不拒絕 $H_0$，即拒絕域為集合{0, 4}。
設定顯著水準為 $\alpha=1/16$，請決定上述 4 種檢定法，那一個或那些檢定法是符合 $\alpha$ 之設定且有最大檢定力（power）的檢定法？
思路引導 VIP
本題測驗假設檢定的核心概念。首先需分別計算四種檢定法在虛無假設下的「實際型一錯誤率」，篩選出符合顯著水準 α ≤ 1/16 限制的檢定法。接著再計算符合條件者的檢定力（Power）或引用 Neyman-Pearson 引理，以決定何者具有最大檢定力。
小題 (一)
考慮以下離散型機率分配函數（discrete probability distribution function）
$f(x) = \begin{cases} (\theta^2 + 3)(\frac{1}{\theta^2 + c^2})^x, & x=1,2,3,\dots \ 0, & \text{其他} \end{cases}$
其中 $\theta$ 是參數而 $c$ 是欲求的數。一組服從上述機率分配的母體所得到的一組隨機樣本如下：
1 3 1 2 4 1
請計算 $c$ 的可能值以及根據此組樣本所得之參數 $\theta$ 的最大概似估計量的值。
$f(x) = \begin{cases} (\theta^2 + 3)(\frac{1}{\theta^2 + c^2})^x, & x=1,2,3,\dots \ 0, & \text{其他} \end{cases}$
其中 $\theta$ 是參數而 $c$ 是欲求的數。一組服從上述機率分配的母體所得到的一組隨機樣本如下：
1 3 1 2 4 1
請計算 $c$ 的可能值以及根據此組樣本所得之參數 $\theta$ 的最大概似估計量的值。
思路引導 VIP
面對此題，應先利用「離散型機率質量函數（PMF）在所有可能發生之 $x$ 上的機率總和必須為 1」的性質，透過無窮等比級數求和公式解出未知的常數 $c$。接著，將求出的 $c$ 代回原函數，建構該組樣本的概似函數（Likelihood function）與對數概似函數（Log-likelihood function），藉由微分求極值找出參數 $\theta$ 的最大概似估計量（MLE），並確認其為極大值。