高考申論題
108年
[機械工程] 流體力學
第 二 題
📖 題組：
有一個二維之平面流場，其速度場可表示為 V = (3xy)i + (1.5x² - 1.5y²)j (m/s)，試問：
有一個二維之平面流場，其速度場可表示為 V = (3xy)i + (1.5x² - 1.5y²)j (m/s)，試問：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
此流場之渦度（vorticity）？是否為無旋流（irrotational flow）？（6 分）
思路引導 VIP
看到求渦度與判斷無旋流，應立即聯想到渦度即為速度場的旋度 (∇ × V)。對於二維流場，只需計算 z 方向渦度分量 ζz = (∂v/∂x) - (∂u/∂y)，若偏微分相減結果為 0，即代表流體質點無自旋，屬於無旋流。
小題 (一)
此流場是否為不可壓縮流（incompressible flow）？（6 分）
思路引導 VIP
判斷流場是否為不可壓縮流，核心在於檢驗其速度場的散度（Divergence）是否為零，即是否滿足不可壓縮連續方程式。考生應先明確定義直角座標系，分別對速度分量 u, v 求偏微分並相加，若結果為零即可得證。
小題 (三)
流體質點在位置（x,y）=（2,1）之加速度向量？（8 分）
思路引導 VIP
看到求流體質點加速度，應立即聯想到尤拉描述法（Eulerian approach）下的物質導數（Material derivative）。利用公式 a = ∂V/∂t + (V·∇)V，判斷流速場不含時間變數為穩態流後，分別計算 x 與 y 方向的對流加速度（Convective acceleration），最後代入特定座標值即可得解。
流場渦度與無旋流判定
💡 透過速度場旋度運算判定流體微元是否具有自旋性質。
🔗 無旋流判定計算流程
- 1 分量提取 — 由速度向量場取出 u(x,y) 與 v(x,y)
- 2 偏微分運算 — 計算 ∂v/∂x 與 ∂u/∂y 之值
- 3 計算渦度 — 代入公式 ζ = ∂v/∂x - ∂u/∂y
- 4 性質判定 — 若 ζ = 0 則為無旋流，否則為旋流
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🔄 延伸學習：延伸學習：若流場為無旋流，必存在速度位能函數 φ。
