地特三等申論題
109年
[機械工程] 流體力學
第 一 題
📖 題組：
有一個二維不可壓縮流場，其速度勢能（velocity potential）函數為 \phi = \left(\frac{5}{3}\right)x^3 - 5xy^2，試問：
有一個二維不可壓縮流場，其速度勢能（velocity potential）函數為 \phi = \left(\frac{5}{3}\right)x^3 - 5xy^2，試問：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
此流場在 x 方向之速度 u(x, y)及 y 方向速度 v(x, y)為何？（5分）
思路引導 VIP
看到「速度勢能（velocity potential）」就應立刻聯想到無旋流的定義式：速度向量等於速度勢能的梯度。直接對勢能函數分別取 x 與 y 的偏微分，即可得到對應的水平與垂直速度分量。
小題 (二)
此流場是否符合質量守恆定律？（5分）
思路引導 VIP
看到「速度勢函數」與「質量守恆」，應立刻聯想到不可壓縮流體的連續方程式。只要將速度勢分別對 x 與 y 偏微分求出速度分量 u 與 v，再檢驗其散度（∂u/∂x + ∂v/∂y）是否為零，或者直接檢驗速度勢是否滿足拉普拉斯方程式（∇²φ = 0），即可得解。
小題 (三)
求此流場之流線函數（stream function）ψ(x, y)？（15分）
思路引導 VIP
看到由速度勢能求流線函數的題型，應直覺聯想到利用柯西-黎曼方程式（Cauchy-Riemann equations）。解題步驟：先對速度勢能偏微分求出 x 與 y 方向的速度分量，再利用速度分量與流線函數的偏微分關係式進行偏積分，最後比對兩方向結果即可求解。