第 一 題

本題考查線性非時變系統對弦波輸入的穩態響應。核心觀念是：當輸入為 A sin(ωt) 時，穩態輸出為 A |H(jω)| sin(ωt + ∠H(jω))。首先，將輸入與輸出的形式統一起來。將輸出的 cos 換成 sin 的形式以便比對。接著，比對振幅放大倍率與相位差，列出 |H(j10)| 與 ∠H(j10) 的方程式。代入 s = j10，分別求出實部與虛部的關係，即可解出未知數 a 與 b。

取得系統的完整轉移函數 H(s) = 200 / (s(s+10)) 後，這題要求新的輸入 r(t) = cos 20t 的穩態輸出。與上一題原理相同，只是將 ω 改為 20，並直接計算 |H(j20)| 與 ∠H(j20)|。最後把計算出的振幅乘上原振幅(1)，相位加上原相位(0°)，寫成 cos 的形式即可。

此題要求單位步階響應（unit step response）。將輸入 R(s) = 1/s 代入轉移函數求得 Y(s) = H(s)/s。展開 Y(s) 並利用部分分式展開法（Partial Fraction Expansion）將其拆解。由於分母有重根 s^2，部分分式會有 A/s + B/s^2 + C/(s+10) 的形式。求出各項係數後，再進行反拉普拉斯轉換即可。此為 Type 1 系統，對步階輸入會產生等速度發散的響應。