高考申論題
108年
[測量製圖] 地籍測量
第 四 題
四、今以測量儀器分別測一個正方形之邊長為 a 公尺、周長為 p 公尺、及其四端點之平面點位坐標(x,y)的方式求此正方形面積，若邊長與點位坐標(x,y)坐標分量觀測中誤差均為σ公尺，試列出所有面積計算式與比較此三種量測方式所求面積之中誤差何者最小？何者最大？（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到求「面積計算式與中誤差」，應立刻聯想到「誤差傳播定律」。解題關鍵在於針對三種觀測方式分別列出面積公式（邊長平方、周長關係式、坐標解析法），再對各自的觀測量求偏導數，計算其面積中誤差，最後將結果化為相同的變數(如以a表示)以比較大小。
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【解題思路】利用誤差傳播定律計算各觀測方法之面積中誤差，並比較其數值大小。 【詳解】 依據誤差傳播定律，若函數 $F = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，且各獨立觀測量之中誤差為 $m_1, m_2, \dots, m_n$，則 $F$ 之中誤差 $m_F$ 公式為：
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