高考申論題
108年
[統計] 抽樣方法
第 三 題
📖 題組：
自來水公司想調查臺中市某區住戶在 108 年 1~3 月的用水情況，該區共有 N=20,000 戶，今以簡單隨機抽樣法調查了 n=800 戶，得到下列統計資料：\bar{y} = 22.5 噸，s = 3.6 噸，有 320 戶用水總量超過了規定的用量標準。
自來水公司想調查臺中市某區住戶在 108 年 1~3 月的用水情況，該區共有 N=20,000 戶，今以簡單隨機抽樣法調查了 n=800 戶，得到下列統計資料：\bar{y} = 22.5 噸，s = 3.6 噸，有 320 戶用水總量超過了規定的用量標準。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
又自來水公司想在 6 月份再做一次該區住戶用水總量的抽樣調查，若要求在 95% 水準下估計的相對誤差不超過 10%，則應該抽多少樣本（戶）才能達到上述之要求？（6 分）
思路引導 VIP
考查樣本數決定（Sample Size Determination）。相對誤差 $r = 10%$。公式需從 $B = z \cdot se(\bar{y})$ 出發，轉化為 $r = B / \bar{y}$。
小題 (一)
請估計該區住戶在 108 年 1~3 月的總用水量 Y 及其該估計之 95% 的信賴區間。（6 分）
思路引導 VIP
使用 SRS 下總量估計的公式。關鍵在於 $\hat{Y} = N\bar{y}$，以及其標準誤的計算，須考慮有限母體校正因子（fpc）。
小題 (二)
請估計該區住在 108 年 1~3 月的總用水量超過了規定的用量標準的住戶數 T。（6 分）
思路引導 VIP
這是母體總筆數（符合某特性之個數）的估計，即 $\hat{T} = N \hat{p}$，其中 $\hat{p}$ 是樣本比例。
平均數估計之樣本數決定
💡 依據給定信賴水準與相對誤差限制，計算所需之最小樣本數。
🔗 樣本數計算標準作業程序
- 1 參數提取 — 確認信賴水準對應 z 值、平均數、標準差及相對誤差 r。
- 2 變異係數計算 — 計算 C = s / 平均數，將絕對離散轉為相對離散。
- 3 初步樣本數 n0 — 代入無限母體公式，計算未考慮母體規模時的數量。
- 4 有限母體修正 — 套用 N / (N + n0) 邏輯修正，得出最終應抽樣戶數。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若目標為「估計總量」而非「平均數」，其樣本數公式在相對誤差下完全相同。
