高考申論題
108年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
在一個同調二位元 PSK 系統中，符元 1 及 0 被調變為： s(t) = { sqrt(2Eb/Tb)cos(2πfct), 符元1; sqrt(2Eb/Tb)cos(2πfct + π), 符元0 }，0 ≤ t ≤ Tb。 假設 Φ(t) = sqrt(2/Tb)cos(2πfct)，0 ≤ t ≤ Tb。 接收器方塊圖如圖所示，雜訊 w(t) 為 AWGN，PSD = N0/2。
在一個同調二位元 PSK 系統中，符元 1 及 0 被調變為： s(t) = { sqrt(2Eb/Tb)cos(2πfct), 符元1; sqrt(2Eb/Tb)cos(2πfct + π), 符元0 }，0 ≤ t ≤ Tb。 假設 Φ(t) = sqrt(2/Tb)cos(2πfct)，0 ≤ t ≤ Tb。 接收器方塊圖如圖所示，雜訊 w(t) 為 AWGN，PSD = N0/2。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
假設 n = ∫ w(t)Φ(t) dt，積分從 0 到 Tb。求 n 之期望值 mn、變異數 σn^2 及機率密度函數 fN(n)。（6 分）
思路引導 VIP
面對AWGN經過相關器(Correlator)的雜訊分析題，首先應利用白雜訊期望值為零的特性求得積分後的期望值。其次，代入白雜訊的自相關函數 $R_w(\tau) = \frac{N_0}{2}\delta(\tau)$ 進行雙重積分計算變異數，最後利用高斯隨機過程的線性轉換仍為高斯分佈之性質，寫出機率密度函數(PDF)。
小題 (二)
假設傳送端送出符元 1 及 符元 0 之機率相同，求同調二位元 PSK 系統之位元錯誤率 PE，並以下列之 Q 函數表示之：Q(x) = ∫ (1/sqrt(2π)) exp(-x^2/2) dx，積分從 x 到 ∞。（14 分）
思路引導 VIP
這是一道標準的BPSK位元錯誤率（BER）推導題。解題關鍵在於先寫出相關器輸出端決策變數 Y 的數學式，並分別計算出信號成分的期望值與 AWGN 雜訊成分的變異數，最後利用高斯分佈特性與全機率定理，代入 Q 函數定義求出總位元錯誤率。