高考申論題
108年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
將一個功率頻譜密度為 N0/2、平均值為零之白色高斯雜訊通過一個理想之帶通濾波器（振幅響應為 1，中間頻率為 fc，帶寬為 2B，fc >> B），其輸出可表示為 n(t) = nI(t)cos(2πfct) - nQ(t)sin(2πfct)。其中 nI(t) 及 nQ(t) 分別為 n(t) 之同相成分及正交成分。
將一個功率頻譜密度為 N0/2、平均值為零之白色高斯雜訊通過一個理想之帶通濾波器（振幅響應為 1，中間頻率為 fc，帶寬為 2B，fc >> B），其輸出可表示為 n(t) = nI(t)cos(2πfct) - nQ(t)sin(2πfct)。其中 nI(t) 及 nQ(t) 分別為 n(t) 之同相成分及正交成分。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
求 n(t) 之功率頻譜密度 Sn(f)。（5 分）
思路引導 VIP
看到這題，首先應聯想到隨機訊號通過線性非時變系統（LTI）的頻域轉換基本定理。運用公式 $S_{out}(f) = S_{in}(f)|H(f)|^2$，將輸入白雜訊的功率頻譜密度與理想帶通濾波器的頻率響應結合即可直接求解。
小題 (二)
求 nI(t) 及 nQ(t) 之功率頻譜密度 SnI(f) 及 SnQ(f)。（5 分）
思路引導 VIP
看到此類窄頻雜訊（Narrowband Noise）題型，應立即聯想「低通等效模型（Lowpass Equivalent Model）」。首先寫出經過理想帶通濾波器後的雜訊功率頻譜密度 $S_n(f)$，接著利用基頻成分 $n_I(t)$ 與 $n_Q(t)$ 頻譜等同於將帶通頻譜正、負頻率部分平移至零頻並相加的特性，即可得出答案。
小題 (三)
n(t) 亦可表示為 n(t) = r(t)cos(2πfct + φ(t))，其中 r(t) = [(nI(t))^2 + (nQ(t))^2]^(1/2)，φ(t) = tan^(-1)[nQ(t)/nI(t)]。求 r(t) 及 φ(t) 取樣值之機率密度函數 fR(r) 及 fΦ(φ)。（10 分）
思路引導 VIP
這題主要考查窄頻高斯雜訊的統計特性與雙隨機變數的函數變換。考生應先確立同相與正交成分獨立且為高斯分布，變異數等於帶通濾波器的輸出雜訊功率；由於這涉及希爾柏轉換的特性，建議在推導時一併說明物理意義。接著利用雅可比行列式（Jacobian determinant）進行直角座標至極座標的機率密度轉換，最後透過積分求得包絡與相位的邊際機率密度函數。