高考申論題
113年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
二、今有一二元通訊系統,此系統每個位元傳輸時間為T,當傳輸資訊為 1 時,此系統會送出振幅為2的方波,當傳輸資訊為0時,此系統會送出振幅為-2的方波。假設通道為加成性高斯白雜訊通道且雜訊的功率頻譜密度為No/2,則在接收端收到的資訊為: D = ∫₀ᵗ s(t) + n(t) dt = ∫₀ᵗ s(t) dt + ∫₀ᵗ n(t) dt = {2T + N, (傳輸1) {-2T + N, (傳輸0) 請回答下列問題:
二、今有一二元通訊系統,此系統每個位元傳輸時間為T,當傳輸資訊為 1 時,此系統會送出振幅為2的方波,當傳輸資訊為0時,此系統會送出振幅為-2的方波。假設通道為加成性高斯白雜訊通道且雜訊的功率頻譜密度為No/2,則在接收端收到的資訊為: D = ∫₀ᵗ s(t) + n(t) dt = ∫₀ᵗ s(t) dt + ∫₀ᵗ n(t) dt = {2T + N, (傳輸1) {-2T + N, (傳輸0) 請回答下列問題:
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
N為一高斯隨機變數,請求出N的平均值跟變異數。(10分)
(提示:E{N(t₁)N(t₂)} = No/2 δ(t₁ - t₂))
思路引導 VIP
看到這類積分接收機的雜訊分析題，首先應明確寫出雜訊隨機變數 $N$ 的積分定義式 $N = \int_0^T n(t) dt$。接著利用「期望值與積分可互換」的線性運算特性求取平均值，並透過展開為雙重積分的形式，代入白雜訊的自相關函數（即 Dirac delta function）來嚴謹推導變異數。
小題 (二)
當傳輸資訊為1時,此時的錯誤率為何?(5分)
思路引導 VIP
本題考查數位通訊中加成性高斯白雜訊(AWGN)通道的錯誤率計算。解題關鍵在於先求出積分後雜訊項 $N$ 的機率密度函數（即求其平均值與變異數），接著判斷最佳決策門檻值（為0），最後計算當傳輸為1時，決策變數 $D$ 落入錯誤區間的機率，並以標準的 Q-function 表示。
小題 (三)
當傳輸資訊為0時,此時的錯誤率為何?(5分)
思路引導 VIP
面對二元通訊在AWGN通道下的錯誤率計算，首先要確認最佳判決門檻值（對稱訊號通常為0），接著依據隨機過程定義推導積分後雜訊變數 $N$ 的變異數。最後利用條件機率 $P(\text{Error} | \text{傳輸0}) = P(D > 0)$，將其轉換為標準高斯分佈的 Q 函數（Q-function）形式即可得解。
小題 (四)
假設1與0出現的機率相等,整體平均的錯誤率為何?(5分)
思路引導 VIP
面對數位通訊的錯誤率計算題，首先需確認積分後雜訊項的統計特性（平均值與變異數）。接著利用事前機率相等的條件找出最佳判決門檻（Threshold），最後代入高斯分佈的 Q 函數求出平均錯誤率。