調查局三等申論題
106年
[電子科學組] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
考慮單脈衝傳輸（single-pulse transmission）系統，接收端所收到的訊號 $r(t)$，有兩種可能，即脈衝訊號傳送 $r(t) = s(t) + w(t)$ 或不傳送 $r(t) = w(t)$，$0 < t \leq T$。其中，$w(t)$為背景雜訊，其為零均值（zero-mean）變異數（Variance）為 $\sigma_w^2 = N_0/2$ 的白高斯雜訊（White Gaussian noise）。最佳接收器（Optimum detector）是採用接收器的輸出訊號具有最大訊號雜訊比（Maximize signal-to-noise ratio, SNR），簡稱$(SNR)_o$的設計，假設最佳接收器的脈衝響應 $g(t)$，為線性非時變（Linear time-invariant）且 $\int_0^T |g(t)|^2 dt = \varepsilon_s$，而 $y(t)$為輸出訊號。（15 分，10 分，共 25 分）
考慮單脈衝傳輸（single-pulse transmission）系統，接收端所收到的訊號 $r(t)$，有兩種可能，即脈衝訊號傳送 $r(t) = s(t) + w(t)$ 或不傳送 $r(t) = w(t)$，$0 < t \leq T$。其中，$w(t)$為背景雜訊，其為零均值（zero-mean）變異數（Variance）為 $\sigma_w^2 = N_0/2$ 的白高斯雜訊（White Gaussian noise）。最佳接收器（Optimum detector）是採用接收器的輸出訊號具有最大訊號雜訊比（Maximize signal-to-noise ratio, SNR），簡稱$(SNR)_o$的設計，假設最佳接收器的脈衝響應 $g(t)$，為線性非時變（Linear time-invariant）且 $\int_0^T |g(t)|^2 dt = \varepsilon_s$，而 $y(t)$為輸出訊號。（15 分，10 分，共 25 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
若輸出訊號中雜訊部分為 $n(t)$（為隨機變數），求其均值和變異數？（15 分）
思路引導 VIP
本題測驗考生對於線性非時變系統（LTI）處理隨機程序的能力。求均值時，利用期望值的線性特性將其移入積分號內；求變異數時，需展開均方值積分，並利用白高斯雜訊的自相關函數（脈衝函數）之篩選性質進行推導。
小題 (二)
接收器輸出訊號的最大訊號雜訊比$(SNR)_o$為何？（10 分）
思路引導 VIP
本題核心為「匹配濾波器（Matched Filter）」的經典物理意義與數學推導。考生應先寫出接收端在取樣時間 $t=T$ 時的訊號雜訊比 $(SNR)_o$ 定義，接著利用「柯西-史瓦茲不等式（Cauchy-Schwarz inequality）」求出分子積分項的最大值，進而將題目給定的濾波器能量 $\varepsilon_s$ 於分子分母對消，最終得出只與「訊號總能量」及「雜訊功率頻譜密度」相關的極值。