高考申論題
108年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
在二位元基頻傳送系統中，其傳送波可以用一個隨機程序表示之： X(t) = Σ ak p(t - kT - Δ)，k從-∞到∞。 其中 p(t) 為振幅為 1 之脈波類波形，ak 為脈波之強度，T 為脈波間之間隔，Δ 均勻分布於 (-T/2, T/2) 之間。
在二位元基頻傳送系統中，其傳送波可以用一個隨機程序表示之： X(t) = Σ ak p(t - kT - Δ)，k從-∞到∞。 其中 p(t) 為振幅為 1 之脈波類波形，ak 為脈波之強度，T 為脈波間之間隔，Δ 均勻分布於 (-T/2, T/2) 之間。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
證明 X(t) 之自身相關函數 RX(τ) 可表示為 RX(τ) = Σ Rm r(τ - mT)，m從-∞到∞。其中 Rm = E[ak ak+m]，r(τ) = (1/T) ∫ p(t+τ)p(t) dt，積分從-∞到∞。（6 分）
思路引導 VIP
看到隨機程序與均勻分佈的延遲變數 Δ，應立刻聯想到計算廣義等效平穩 (WSS) 隨機程序的自相關函數定義。解題關鍵在於先寫出 X(t)X(t+τ) 的雙重求和展開，接著利用獨立性分別對符號序列 a_k 與隨機相位 Δ 取期望值，最後透過無窮級數求和將對 Δ 的有限積分拼接成無窮積分，即可湊出題目所求的 r(τ-mT)。
小題 (二)
求 X(t) 之功率頻譜密度 SX(f)。（7 分）
思路引導 VIP
看到此類含有均勻隨機延遲的基頻訊號求功率頻譜密度(PSD)，應立即聯想到透過「自相關函數」結合「維納-辛欽定理」求解。先利用定義展開求得自相關函數 $R_X(\tau)$，利用隨機延遲 $\Delta$ 將時域平均轉化為統計平均，最後對 $R_X(\tau)$ 取傅立葉轉換推導出 PSD。
小題 (三)
以曼徹斯特碼(Manchester code)為例，p(t) = { 1, -T/2 < t < 0; -1, 0 < t < T/2 }，ak = { A, 符元1; -A, 符元0 }。求其 SX(f)。（7 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應立刻聯想到具隨機相位之數位脈波調變訊號的功率頻譜密度 (PSD) 公式：S_X(f) = (1/T) * S_a(f) * |P(f)|^2。解題步驟分為兩段：首先計算假設為獨立且機率均等的符元序列 a_k 之功率頻譜密度 S_a(f)；接著利用傅立葉轉換的位移定理與尤拉公式求出曼徹斯特脈波 p(t) 的頻域表示 P(f) 並取平方，最後相乘即可得分。