高考申論題
114年
[電信工程] 通信與系統
第 二 題
📖 題組：
給定廣義平穩（Wide-Sense Stationary, WSS）隨機訊號 $X(t)$ 之自相關函數（Auto-correlation Function） $$R_X(\tau) = \begin{cases} \frac{A^2}{4} + \frac{A^2}{4} (1 - \frac{|\tau|}{T}), & |\tau| < T \\ \frac{A^2}{4}, & |\tau| \ge T \end{cases}$$
給定廣義平穩（Wide-Sense Stationary, WSS）隨機訊號 $X(t)$ 之自相關函數（Auto-correlation Function） $$R_X(\tau) = \begin{cases} \frac{A^2}{4} + \frac{A^2}{4} (1 - \frac{|\tau|}{T}), & |\tau| < T \\ \frac{A^2}{4}, & |\tau| \ge T \end{cases}$$
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
計算此隨機訊號之功率頻譜密度（power spectral density, PSD）函數。（10 分）
思路引導 VIP
看到求廣義平穩（WSS）隨機過程之功率頻譜密度（PSD），應立即聯想到「魏納-辛欽定理（Wiener-Khinchin Theorem）」，即 PSD 與自相關函數（ACF）互為傅立葉轉換對。解題時可將給定的分段自相關函數拆解為「常數直流項」與「三角脈衝項」，利用線性疊加原理分別取傅立葉轉換，可避免繁雜的分段積分，快速且嚴謹地得出答案。
小題 (一)
X(t)是否包含直流成分，請證明此答案。若答案為是，請計算出直流成分之振幅。（10 分）
思路引導 VIP
判斷廣義平穩(WSS)隨機過程是否包含直流成分，核心在於觀察其自相關函數在時間差 τ → ∞ 時的極限值。利用統計特性中「無窮遠極限值等於期望值平方」的定理（或頻域中 f=0 處是否有衝激函數 δ(f)），即可證明並求解出直流振幅。
小題 (三)
若將此隨機訊號進行希伯特轉換（Hilbert transform），得到的輸出為 $Y(t) = X(t) * \frac{1}{\pi t}$，求得為 $Y(t)$ 之功率頻譜密度函數。（10 分）
思路引導 VIP
看見希伯特轉換（Hilbert Transform），應立刻聯想到其為線性非時變（LTI）系統，頻域響應為 $H(f) = -j \text{sgn}(f)$。接著利用韋納-辛欽定理（Wiener-Khinchin theorem）求出輸入訊號的功率頻譜密度 $S_X(f)$，再代入 LTI 系統的 PSD 轉換公式 $S_Y(f) = |H(f)|^2 S_X(f)$ 即可求解，過程中須特別注意直流分量（$f=0$）會被完全濾除的物理意義。