高考申論題
109年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
一、隨機程序 X(t) = A cos(2πf_ct + Θ)，其中A和f_c為大於零的常數，Θ為在區間 (0, 2π)上均勻分布的隨機變數。
一、隨機程序 X(t) = A cos(2πf_ct + Θ)，其中A和f_c為大於零的常數，Θ為在區間 (0, 2π)上均勻分布的隨機變數。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
X(t)是否為廣義平穩（wide-sense stationary, WSS）的隨機程序？（10分）
思路引導 VIP
要判斷隨機程序是否為廣義平穩（WSS），必須從定義出發檢驗兩個條件：1. 平均值是否為與時間無關的常數；2. 自相關函數是否僅取決於時間差 \tau = t_1 - t_2。計算自相關函數時，需利用三角函數的積化和差公式將兩餘弦函數相乘展開，再對隨機相位取期望值。
小題 (二)
寫出X(t)的功率頻譜密度（power spectral density），並計算X(t)的均方值 E[X²(t)]。（10分）
思路引導 VIP
看到隨機相位正弦程序，應立即聯想到透過求自相關函數 (Autocorrelation function) 與 Wiener-Khinchin 定理來求解功率頻譜密度。均方值可利用期望值定義搭配三角函數公式積分，或是直接取自相關函數在延遲時間為零時的值（R_X(0)）。