高考申論題 114年 [電信工程] 通信與系統

第一題

📖 題組：
請問以下訊號是否具有週期性（periodic）？若是，請求其週期（period）；若否，請說明為什麼？

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

取樣後（sampled）的離散時間（discrete-time）訊號 x[n] = Acos(2πf_0n)，其中 A 為常數。（10 分）

看到離散時間弦波訊號的週期性判定，首先應聯想離散訊號週期性的基本定義：存在正整數 N 使得 x[n+N] = x[n] 對所有 n 成立。將訊號代入定義式，利用三角函數的 2π 週期特性，推導出頻率 f_0 必須滿足為「有理數」的前提，據此分情況討論並給出完整結論。

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【解題思路】利用離散時間訊號週期性的嚴格定義 x[n+N] = x[n]，代入三角函數推導頻率 f_0 必須滿足的數學條件。【詳解】已知：離散時間訊號 x[n] = A\cos(2$\pi f_0 n)$，其中 A 為常數。

連續時間（continuous-time）訊號 x_1(t) = 2cos(2t) + 4sin(6πt)。（5 分）

判斷多個連續時間弦波訊號相加是否具週期性，關鍵在於檢驗各分量基本週期的比值是否為有理數。先分別求出個別弦波的角頻率與基本週期，再計算其週期比值；若比值包含無理數（如 π），則無法找到共同的整數倍週期，該合成訊號即不具週期性。

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【解題思路】判斷連續時間合成訊號是否為週期訊號，需檢驗其各組成成份的週期比值是否為有理數。【詳解】已知：連續時間合成訊號 $x_1(t) = 2\cos(2t) + 4\sin(6\pi t)$

連續時間訊號 x_2(t) = 4sin(6πt) + 7cos(30πt)。（5 分）

看到多個弦波疊加的連續時間訊號，應先分別計算各組成成分的週期。接著檢查這些週期的比值是否為有理數以判定整體是否具週期性；若是，則整體的基本週期即為各組成週期的最小公倍數（LCM）。

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【解題思路】利用連續時間弦波訊號週期性之定義，分別求出各組成訊號的週期，並檢驗其週期比值是否為有理數以判斷整體週期性；若為有理數，則整體基本週期為各週期的最小公倍數。【詳解】已知連續時間訊號：$x_2(t) = 4\sin(6\pi t) + 7\cos(30\pi t)$