高考申論題
114年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
請問以下訊號是否具有週期性（periodic）？若是，請求其週期（period）；若否，請說明為什麼？
請問以下訊號是否具有週期性（periodic）？若是，請求其週期（period）；若否，請說明為什麼？
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
取樣後（sampled）的離散時間（discrete-time）訊號 x[n] = Acos(2πf_0n)，其中 A 為常數。（10 分）
思路引導 VIP
看到離散時間弦波訊號的週期性判定，首先應聯想離散訊號週期性的基本定義：存在正整數 N 使得 x[n+N] = x[n] 對所有 n 成立。將訊號代入定義式，利用三角函數的 2π 週期特性，推導出頻率 f_0 必須滿足為「有理數」的前提，據此分情況討論並給出完整結論。
小題 (二)
連續時間（continuous-time）訊號 x_1(t) = 2cos(2t) + 4sin(6πt)。（5 分）
思路引導 VIP
判斷多個連續時間弦波訊號相加是否具週期性，關鍵在於檢驗各分量基本週期的比值是否為有理數。先分別求出個別弦波的角頻率與基本週期，再計算其週期比值；若比值包含無理數（如 π），則無法找到共同的整數倍週期，該合成訊號即不具週期性。
小題 (三)
連續時間訊號 x_2(t) = 4sin(6πt) + 7cos(30πt)。（5 分）
思路引導 VIP
看到多個弦波疊加的連續時間訊號，應先分別計算各組成成分的週期。接著檢查這些週期的比值是否為有理數以判定整體是否具週期性；若是，則整體的基本週期即為各組成週期的最小公倍數（LCM）。
訊號週期性判定
💡 判定離散與連續訊號是否具備重複循環特性之數學準則
| 比較維度 | 連續時間訊號 (CT) | VS | 離散時間訊號 (DT) |
|---|---|---|---|
| 判定準則 | 頻率比值須為有理數 | — | 頻率 $f$ 須為有理數 |
| 單一正弦波 | 恆為週期訊號 | — | 不一定（視頻率而定） |
| 週期性質 | 週期 $T$ 可為任何正實數 | — | 週期 $N$ 必須為正整數 |
💬離散訊號因定義域受限於整數，判定條件比連續訊號嚴苛。
