高考申論題
110年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
令$x(t)$為低通訊號，其頻寬為W。將$x(t)$以2W的速率取樣，產生取樣訊號如下： $x_s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n x(nT_s) \delta(t - nT_s)$ 其中$T_s = 1/(2W)$。
令$x(t)$為低通訊號，其頻寬為W。將$x(t)$以2W的速率取樣，產生取樣訊號如下： $x_s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n x(nT_s) \delta(t - nT_s)$ 其中$T_s = 1/(2W)$。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求xs(t)的傅立葉轉換。（10 分）
思路引導 VIP
看到序列中出現 (-1)^n 時，應立刻聯想到尤拉公式 (-1)^n = e^{j$\pi n}$，將其轉換為頻率平移的複數指數項。接著利用理想脈衝取樣函數的傅立葉轉換公式，並透過時域相乘等於頻域卷積的性質，即可推導出最終頻譜。
小題 (二)
如何將取樣訊號xs(t)重新還原x(t)。（10 分）
思路引導 VIP
首先觀察取樣訊號中 $(-1)^n$ 項的物理特性。利用脈衝函數在取樣點的特性，若在時域將該訊號乘上 $\cos(2\pi W t)$，在 $t=nT_s$ 處其值剛好為 $(-1)^n$，即可將其轉換為標準的理想取樣訊號。隨後即可依據奈奎斯特取樣定理，以理想低通濾波器還原訊號。