高考申論題
114年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
假設 x(t)與 y(t)分別為線性非時變（linear time-invariant, LTI）系統的輸入訊號與輸出訊號，已知若 x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} X_n e^{j2\pi n f_0 t}，則 y(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} X_n e^{-j2\pi n f_0 t_0} e^{j2\pi n f_0 t}，其中 t_0 為常數。請回答以下的問題：
假設 x(t)與 y(t)分別為線性非時變（linear time-invariant, LTI）系統的輸入訊號與輸出訊號，已知若 x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} X_n e^{j2\pi n f_0 t}，則 y(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} X_n e^{-j2\pi n f_0 t_0} e^{j2\pi n f_0 t}，其中 t_0 為常數。請回答以下的問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
如果輸出訊號為 y(t) = Acos(2πf_0t)，A 為常數，請求輸入訊號 x(t)以及 t_0。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗 LTI 系統中的時間延遲（Time Delay）特性與傅立葉級數的對應關係。解題時應先將輸出的級數型態化簡，辨識出 y(t) = x(t - t_0) 的時移物理意義。接著將已知的 y(t) 透過歐拉公式展開，反推傅立葉係數 X_n，最後重組得出 x(t) 的表示式並說明 t_0 的系統意義。
小題 (二)
如果輸入訊號 x(t) = Acos(2πf_0t) + Asin(2πf_0t)，請求輸出訊號 y(t)。（5 分）
思路引導 VIP
看到這題，首先觀察題目給的 LTI 系統輸入與輸出的數學關係，利用指數律整理後可發現 y(t) = x(t-t_0)，本質上這是一個純時間延遲系統。解題時，最嚴謹的做法是利用尤拉公式將輸入訊號展開成複數指數傅立葉級數代入定義式推導；亦可直接點出時間延遲的物理特性來作答。
小題 (三)
若 $s(t)$ 為 FM 訊號 $s(t) = A_c \cos[2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_{0}^{t} m(\tau) d\tau]$，推導輸出訊號 $y(t)$，並說明訊息訊號 $m(t)$ 如何透過斜率電路和包絡檢波器解調。（10 分）
思路引導 VIP
遇到 FM 解調與斜率電路（Slope Circuit）的題目，首要任務是運用帶通訊號的「等效基頻分析法」，將斜率電路的頻域響應平移至基頻。接著利用傅立葉轉換的微分性質反轉回時域，以證明頻率變化被轉換為振幅變化（FM-to-AM）。最後說明由包絡檢波器提取包絡並扣除直流成分，即可完美解調出訊息。