調查局三等申論題 113年 [電子科學組] 通信與系統

第一題

📖 題組：
有一個系統（system），我們稱之 T(∙)；我們以 x(t)代表它的輸入訊號、以 y(t)代表它的輸出訊號。（每小題 5 分，共 15 分）

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

假設輸入訊號 x1(t)所對應的輸出為 T(x1(t)) = y1(t)、輸入訊號 x2(t)所對應的輸出為 T(x2(t)) = y2(t)。請描述在合乎什麼條件之下，T(∙)便是一個線性（linear）系統。

本題為訊號與系統的基礎觀念題。看到「線性系統（Linear System）」應立即聯想到「重疊定理（Superposition Principle）」。作答時需明確列出重疊定理的兩大構成要件：加成性（Additivity）與齊次性（Homogeneity），並以嚴謹的數學通式表達。

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【解題思路】線性系統的判定標準在於系統是否滿足「重疊定理」（Superposition principle）。【詳解】已知：系統輸入輸出關係為 T(x1(t)) = y1(t) 且 T(x2(t)) = y2(t)。

請描述在合乎什麼條件之下，T(∙)便是一個非時變（time-invariant）系統。（你的答案中應該會用到類似這樣的符號：如果給定一個訊號 s(t)，那麼 s(t-τ)就是 s(t)延遲了τ時間之後的訊號）。

這題測驗考生對通訊系統中「非時變(Time-Invariant)」特性的數學定義。看到此題應直覺想到物理意義：『輸入延遲多少時間，輸出也應延遲相同時間，且波形不變』，並使用數學式表達輸入延遲與輸出延遲的相等關係。

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【解題思路】利用系統輸入與輸出的時間延遲關係來定義非時變特性。【詳解】已知系統 $T(\cdot)$ 的輸入為 $x(t)$，輸出為 $y(t)$，其關係可表示為：

請描述在合乎什麼條件之下，T(∙)便是一個線性非時變（linear time-invariant）系統。

看到「線性非時變系統（LTI）」，應立刻拆解為「線性（Linear）」與「非時變（Time-invariant）」兩個核心概念。作答時需明確列出數學條件：線性需滿足疊加性與齊次性，非時變則需滿足輸入時間平移等於輸出同等時間平移。

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【解題思路】利用線性（疊加性與齊次性）及非時變（時間平移不變性）的嚴格數學定義來列出系統成立條件。【詳解】已知系統 $y(t) = T(x(t))$，若該系統為「線性非時變（Linear Time-Invariant, LTI）系統」，必須同時滿足以下兩個條件：