調查局三等申論題
112年
[電子科學組] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
一、考慮一連續時間（continuous-time）系統，其輸出y(t)和輸入 x(t)之間的關係為： y(t) = \int_0^t x(\tau) d\tau 。（每小題 5 分，共 15 分） (一)清楚說明此系統是否為線性（linear）系統，必要時請列出相關數學式。 (二)清楚說明此系統是否為非時變（time-invariant）系統，必要時請列出相關數學式。 (三)若輸入為x(t) = e^{-t}u(t)，其中u(t)為單位步進函數（unit step function），求輸出y(t)。
一、考慮一連續時間（continuous-time）系統，其輸出y(t)和輸入 x(t)之間的關係為： y(t) = \int_0^t x(\tau) d\tau 。（每小題 5 分，共 15 分） (一)清楚說明此系統是否為線性（linear）系統，必要時請列出相關數學式。 (二)清楚說明此系統是否為非時變（time-invariant）系統，必要時請列出相關數學式。 (三)若輸入為x(t) = e^{-t}u(t)，其中u(t)為單位步進函數（unit step function），求輸出y(t)。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
清楚說明此系統是否為線性（linear）系統，必要時請列出相關數學式。
思路引導 VIP
判斷系統是否為線性，核心在於檢驗「重疊定理」（Superposition principle）。請假設兩個不同的輸入信號乘上任意常數後相加，代入系統的積分式中，觀察其輸出是否等於個別輸出的線性組合。
小題 (二)
清楚說明此系統是否為非時變（time-invariant）系統，必要時請列出相關數學式。
思路引導 VIP
驗證系統是否為非時變（TI），需檢查「先延遲輸入再進入系統」與「先進入系統再將輸出延遲」兩者的結果是否相等。對於積分系統，特別注意時間平移對『積分下限』的影響，若積分範圍改變導致兩者不相等，即為時變系統。
小題 (三)
若輸入為x(t) = e^{-t}u(t)，其中u(t)為單位步進函數（unit step function），求輸出y(t)。
思路引導 VIP
本題為基本的積分運算。看到輸入包含單位步進函數 u(t)，解題關鍵在於利用 u(t) 的特性來界定有效積分區間（僅在 t ≥ 0 時有值）。直接將 x(t) 代入系統的積分式中，分段討論積分範圍並執行自然指數的積分即可求得 y(t)。