高考申論題
105年
[電信工程] 通信與系統
第 三 題
📖 題組：
希爾柏(Hilbert)轉換，可將訊號$x(t)$轉換為$x(t)$，表示為$x(t)$與$1/(\pi t)$的迴旋積分(convolution) 如下: $x(t) = x(t) * \int_{-\infty}^{\infty} (1/(\pi(t - \tau))) x(\tau) d\tau$
希爾柏(Hilbert)轉換，可將訊號$x(t)$轉換為$x(t)$，表示為$x(t)$與$1/(\pi t)$的迴旋積分(convolution) 如下: $x(t) = x(t) * \int_{-\infty}^{\infty} (1/(\pi(t - \tau))) x(\tau) d\tau$
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
求x(t) * (1/(πt)) * (1/(πt))。(10分)
思路引導 VIP
看到連續兩次卷積 $1/(\pi t)$，應立刻聯想到這是求「連續兩次希爾柏轉換」。在時域直接計算積分極為複雜，建議迅速利用傅立葉轉換的卷積定理轉至頻域，代入 $1/(\pi t)$ 對應的頻譜 $-j \text{sgn}(f)$ 進行相乘，即可輕鬆得解。
小題 (一)
求$\sin(2\pi f_c t)$的希爾柏轉換。(5分)
思路引導 VIP
面對希爾柏轉換的計算題，應直覺想到其在頻域的等效轉移函數 H(f) = -j sgn(f)（即寬頻的負90度相移器）。相較於直接在時域進行繁複的迴旋瑕積分，將正弦訊號轉換至頻域與 H(f) 相乘，再作反傅立葉轉換，是更嚴謹且不易出錯的解題策略。
小題 (二)
求$\cos(2\pi f_c t)$的希爾柏轉換。(5分)
思路引導 VIP
思考希爾柏轉換時，最直觀的方法是轉換至頻域處理。利用希爾柏轉換在頻域相當於乘上 -j sgn(f) 的特性，將弦波訊號轉為傅立葉變換後，分別對正負頻率成分給予對應的相位位移，再利用反傅立葉變換即可求得時域結果。