高考申論題
114年
[電信工程] 通信與系統
第 三 題
假設一線性非時變（linear time-invariant, LTI）系統的輸入訊號x(t)與輸出訊號 y(t)滿足以下的微分方程式（differential equation）：dy(t)/dt + ay(t) = b dx(t)/dt + cx(t)，其中 a、b、c 為非負常數（non-negative constant）。如果該線性非時變系統的頻率響應（frequency response）為H(f)，請求該線性非時變系統的振幅響應（amplitude response）|H(f)| 以及相位響應（phase response）∠H(f)。（10 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到線性非時變系統的常微分方程式，應優先想到利用連續時間傅立葉轉換（CTFT）的「微分性質」，將時域的微分運算轉換為頻域的代數運算。接著求出輸出 Y(f) 與輸入 X(f) 的比值得到頻率響應 H(f)，最後利用複數的絕對值與幅角運算分離出振幅與相位。
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【解題思路】利用連續時間傅立葉轉換（CTFT）的微分性質，將時域微分方程式轉換至頻域，求得頻率響應 H(f) 後再透過複數計算推導其振幅與相位。 【詳解】 已知 LTI 系統之時域微分方程式為：
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LTI系統頻率響應分析
💡 利用傅立葉轉換性質，將時域微分方程轉換為頻域函數進行分析。
🔗 頻域響應推導流程
- 1 時域微分方程 — 列出系統的輸入輸出微分關係式。
- 2 傅立葉轉換 — 利用微分性質 $\frac{d}{dt} \to j2\pi f$ 轉入頻域。
- 3 求解 $H(f)$ — 整理方程式求得 $H(f) = Y(f)/X(f)$。
- 4 幅相分解 — 計算複數函數的振幅與相角。
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🔄 延伸學習：延伸學習：可由 $H(f)$ 的分母判斷系統穩定性及濾波器特性。
