高考申論題
106年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
一、令 f (t) 為一個功率訊號（ power signal ）， 也就是其平均功率 $P = \lim_{T \to \infty} 1/T \int_{-T/2}^{T/2} f^2(t) dt < +\infty$ 。令 $f_T(t) = f(t)rect(t /T)$ ，這裡當 $-1/ 2 \le t \le 1/ 2$ 時， rect(t) = 1 ，否則 rect(t) = 0 。請證明 f(t) 的功率頻譜密度函數 $\Phi(f)$ 為 $\lim_{T \to \infty} |F_T(f)|^2 / T$ ，這裡 $F_T(f)$ 是 $f_T(t)$ 的傅立葉轉換。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到這題，應直覺想到「帕塞瓦爾定理（Parseval's Theorem）」將時域能量轉換為頻域能量。解題策略是先將無窮延伸的訊號截斷為有限時間的能量訊號，利用傅立葉轉換求得截斷訊號的能量頻譜密度，最後除以時間 T 並取極限，即可推導出功率頻譜密度的定義。
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【解題思路】本題利用將無窮時間的功率訊號截斷為有限時間長度的能量訊號，再應用帕塞瓦爾定理（Parseval's Theorem）連結時域與頻域能量，最後除以時間區間並取極限，以證明功率頻譜密度（PSD）的定義式。 【詳解】 已知：
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