調查局三等申論題
107年
[電子科學組] 通信與系統
第 一 題
已知訊號 g(t) = A rect(t /T) 的傅立葉轉換為G( f ) = AT sinc( f T) 。其中A, T 為常數，並定義：rect(t) = 1, |t| < 1/2 ; 0, |t| >= 1/2，以及 sinc(x) = sin(πx)/(πx), x ≠ 0 ; 1, x = 0 。 g1(t) = 3, -1 < t < 1 ; 2, 2 < |t| < 3 ; 0, 其他。利用以上公式，計算 g1(t) 之傅立葉轉換 G1(f) ，並求∫|G1(f)|^2 df 。（20 分）
📝 此題為申論題
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看到這類「分段常數訊號」求頻譜，首要步驟是將其巧妙拆解為多個不同寬度與高度的置中矩形函數 (rect) 的線性組合，再利用傅立葉轉換的線性定理直接套用公式，可避開繁瑣的時間平移定理。而求頻譜的平方積分時，務必立刻聯想到代表「能量守恆」的帕塞瓦爾定理 (Parseval's Theorem)，轉至時域求解以避開複雜的 sinc 函數積分。
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【解題思路】利用線性疊加原理將分段函數拆解為多個矩形函數的組合來求取傅立葉轉換，並應用帕塞瓦爾定理 (Parseval's Theorem) 在時域計算訊號能量。 【詳解】 已知：
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