高考申論題
108年
[電子工程] 電磁學
第 二 題
📖 題組：
關於自由空間之靜磁場 (一)磁通密度滿足 \nabla \cdot \vec{B} = 0，說明其代表之物理意義。(5 分) (二)應用安培定律之微分式，證明克希荷夫（Kirchhoff）電流定律。(5 分) (三)以磁位 \vec{A} 表示，令 \vec{B} = \nabla \times \vec{A}，代入安培定律，進一步令 \nabla \cdot \vec{A} = 0，給定電流密度 \vec{J} 時，推導 \vec{A} 須滿足之方程式，並說明何以我們可以要求 \nabla \cdot \vec{A} = 0。(10 分) (四)利用(三)求得之方程式，與靜電學 Poisson 方程式比較，將 \vec{A} 表以 \vec{J} 之積分。(5 分)
關於自由空間之靜磁場 (一)磁通密度滿足 \nabla \cdot \vec{B} = 0，說明其代表之物理意義。(5 分) (二)應用安培定律之微分式，證明克希荷夫（Kirchhoff）電流定律。(5 分) (三)以磁位 \vec{A} 表示，令 \vec{B} = \nabla \times \vec{A}，代入安培定律，進一步令 \nabla \cdot \vec{A} = 0，給定電流密度 \vec{J} 時，推導 \vec{A} 須滿足之方程式，並說明何以我們可以要求 \nabla \cdot \vec{A} = 0。(10 分) (四)利用(三)求得之方程式，與靜電學 Poisson 方程式比較，將 \vec{A} 表以 \vec{J} 之積分。(5 分)
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (二)
應用安培定律之微分式，證明克希荷夫（Kirchhoff）電流定律。(5 分)
思路引導 VIP
安培定律描述磁場旋度與電流密度的關係。證明 KCL 的關鍵在於利用恆等式「旋度的散度恆等於零」。
小題 (一)
磁通密度滿足 \nabla \cdot $\vec{B} = 0$，說明其代表之物理意義。(5 分)
思路引導 VIP
這題考查麥克斯韋方程組的基礎物理詮釋。散度為零代表場線沒有源頭也沒有匯尾。要從「磁荷」與「磁力線閉合性」兩方面來回答。
小題 (三)
以磁位 $\vec{A}$表示，令 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$，代入安培定律，進一步令 \nabla \cdot $\vec{A} = 0$，給定電流密度 $\vec{J}$時，推導 $\vec{A}$須滿足之方程式，並說明何以我們可以要求 \nabla \cdot $\vec{A} = 0$。(10 分)
思路引導 VIP
本題涉及向量磁位的定義與庫倫規範 (Coulomb Gauge)。推導過程中需要用到向量二重旋度的公式。至於為何能設定散度，要引用「亥姆霍茲定理 (Helmholtz Theorem)」。
小題 (四)
利用(三)求得之方程式，與靜電學 Poisson 方程式比較，將 $\vec{A}$表以 $\vec{J}$之積分。(5 分)
思路引導 VIP
對比靜電學的卜瓦松方程 (\nabla^2 V = -\rho_v / $\epsilon_0)$及其解 (V = $\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \frac{\rho_v}{R} dv)$。將純量 V 替換為向量 A，係數由 1/$\epsilon_0$替換為 $\mu_0$，即可得出結果。