地特三等申論題
109年
[電子工程] 電磁學
第 三 題
📖 題組：
已知向量磁位能（magnetic vector potential） A r( ) 和電流密度（current density）J r( ) 之關係式為 A r( ) = (μ0 / 4π) ∫ [J(r') / |r - r'|] d³r'，其中 r 為場位置，r' 為源位置，μ0 為導磁係數（permeability），積分係對應於所有空間，且當 |r'| → ∞ 時，J(r') 較 1/r' 趨近於零，證明以下三小題。
已知向量磁位能（magnetic vector potential） A r( ) 和電流密度（current density）J r( ) 之關係式為 A r( ) = (μ0 / 4π) ∫ [J(r') / |r - r'|] d³r'，其中 r 為場位置，r' 為源位置，μ0 為導磁係數（permeability），積分係對應於所有空間，且當 |r'| → ∞ 時，J(r') 較 1/r' 趨近於零，證明以下三小題。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
∇² A(r) = -μ0 J(r)。（6分）
思路引導 VIP
看到這題應立刻聯想到靜磁學的「向量泊松方程（Vector Poisson's Equation）」證明。核心技巧在於將拉普拉斯算子 ∇²（對場座標 r 微分）移入積分號內，並運用純量格林函數的數學恆等式 ∇²(1/|r - r'|) = -4πδ³(r - r') 與狄拉克δ函數的取樣性質來完成推導。
小題 (一)
∇ ⋅ A(r) = 0。（8分）
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想到「向量微積分恆等式」與「散度定理」。解題關鍵在於將對『場點 r』的微分算子 ∇ 轉換為對『源點 r'』的微分算子 ∇'，並利用穩態電流的連續方程式（∇' · J = 0），最後透過散度定理將體積分轉為無窮遠處的面積分，並以邊界條件證明其值為零。
小題 (二)
∇ × A(r) = (μ0 / 4π) ∫ [J(r') × (r - r')] / |r - r'|³ d³r'。（6分）
思路引導 VIP
看到求 ∇ × A(r) 的推導，應直覺想到這是由「向量磁位」推導至「必歐-沙伐定律（Biot-Savart Law）」求磁場 B(r) 的標準過程。核心技巧是將對觀測點 r 的旋度運算子 ∇ 移入積分號內，並利用「純量與向量乘積」的向量恆等式展開，特別注意電流密度 J(r') 僅為源位置 r' 的函數，對 r 的偏微分為零。
向量泊松方程證明
💡 利用拉普拉斯算子與狄拉克δ函數特性證明源與場的關係
🔗 向量泊松方程推導鏈
- 1 算子作用 — 對位能積分式兩邊取拉普拉斯算子並移入積分號
- 2 恆等式代入 — 應用 1/|r-r'| 的拉普拉斯運算等於 -4πδ
- 3 係數化簡 — 消去 4π 常數項，將算式簡化為含 δ 之積分
- 4 取樣積分 — 利用 δ 函數篩選性質得到最終的向量泊松方程
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🔄 延伸學習：延伸學習：此證明方法同樣適用於靜電學中電位與電荷密度的關係證明
